Matemáticas CCSS · Cataluña 2018

Considere las matrices $M$ de la forma $M = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$, en las que $a$ es un número real.

Sea la función $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 4}$.

Considere la función $f(x) = \frac{x^2}{x - a}$, en la que $a$ es un parámetro real.

Considere el pentágono $ABCDE$ de la figura siguiente:

Pol quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 refrescos, 3 bocadillos y 5 bolas de helado. Todo ello les costó $19{,}50$ €. Días atrás, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 refrescos, 1 bocadillo y 2 bolas de helado habían pagado $8{,}10$ €. En este bar todos los refrescos valen lo mismo, todos los bocadillos tienen el mismo precio y las bolas de helado se venden también a precio único.

Sea $y = f(x)$ una parábola que tiene el vértice en el punto $V = (0, -4)$ y corta al eje de las abscisas en los puntos $(-2, 0)$ y $(2, 0)$.

Una empresa de materiales para coches fabrica dos modelos de una pieza determinada, que llamaremos A y B. Cada modelo se fabrica en una hora, mediante un proceso que consta de dos fases. En la primera fase del proceso se destinan 5 trabajadores, y en la segunda, 12. Para fabricar cada modelo, en la primera fase se necesita 1 trabajador para cada pieza. En cambio, en la segunda fase se necesitan 2 trabajadores para el modelo A y 3 trabajadores para el modelo B. El beneficio que se obtiene es de 40 € por el modelo A y 50 € por el modelo B.

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ -x - y + 2 = 0 \end{cases}$. Justifique si las afirmaciones siguientes son ciertas:

Una compañía de móviles presentó hace un año un teléfono inteligente al precio de 750 €. Recientemente, un estudio de mercado ha llegado a la conclusión de que, con este precio, compran el teléfono $2.000$ clientes al mes, y que la relación entre estas dos variables es lineal, de manera que por cada 10 € que se incrementa el precio del móvil, lo compran 100 clientes menos, y a la inversa: por cada 10 € de descuento sobre el precio inicial de 750 €, lo compran 100 clientes más.

Un fabricante de automóviles produce los modelos Record y Astrid. Almacena la producción en tres naves. En la primera nave tiene 150 vehículos del modelo Record y 120 vehículos del modelo Astrid. En la segunda guarda 80 Record y 140 Astrid. Finalmente, en la tercera nave almacena 250 Record y 125 Astrid. Además, el precio de los automóviles Record es de $6.520$ €, mientras que cada Astrid vale $8.130$ €. Toda esta información está recogida en las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 150 & 120 \\ 80 & 140 \\ 250 & 125 \end{pmatrix}, P = \begin{pmatrix} 6.520 \\ 8.130 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la función $P(t) = \frac{5 + t^2}{(t + 1)^2}$, en la que $t$ mide el número de años transcurridos.

A continuación se muestra la gráfica de una función $f$ que presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa $x = -1$ y un máximo relativo en el punto de abscisa $x = 1$.