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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2018

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que permitan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere las matrices MM de la forma M=(2a−a0)M = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}, en las que aa es un número real.
a
Determine aa de manera que M2=(32a−2a−1)M^2 = \begin{pmatrix} 3 & 2a \\ -2a & -1 \end{pmatrix}.1 pt
b
Determine aa de manera que M−1=(01−12)M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, en que M−1M^{-1} representa la matriz inversa de MM. Es decir, M⋅M−1=IM \cdot M^{-1} = I, en que II es la matriz identidad de orden 2.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Sea la función f(x)=x2−3xx2−4f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 4}.
a
Indique justificadamente el dominio y determine los puntos en los que la gráfica de ff corta al eje de las abscisas.1 pt
b
Estudie el crecimiento y haga un esbozo aproximado de la gráfica de la función.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la función f(x)=x2x−af(x) = \frac{x^2}{x - a}, en la que aa es un parámetro real.
a
Halle para qué valores del parámetro aa la recta tangente a la función ff en x=1x = 1 es paralela a la recta y+3x+5=0y + 3x + 5 = 0.1 pt
b
Para el valor del parámetro a=1a = 1, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos donde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de la función ff.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Considere el pentágono ABCDEABCDE de la figura siguiente:
Pentágono ABCDE en un plano cartesiano con vértices A(0,0), B(0,6), C(6,6), D(6,0) y E(3,3). La región sombreada es el interior del cuadrado ABCD excluyendo el triángulo AED.
a
Justifique que la región sombreada no se puede representar mediante un sistema de inecuaciones.1 pt
b
Escriba el sistema de inecuaciones que determina los puntos de la frontera y del interior del triángulo AEDAED.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Pol quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 refrescos, 3 bocadillos y 5 bolas de helado. Todo ello les costó 19,5019{,}50 €. Días atrás, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 refrescos, 1 bocadillo y 2 bolas de helado habían pagado 8,108{,}10 €. En este bar todos los refrescos valen lo mismo, todos los bocadillos tienen el mismo precio y las bolas de helado se venden también a precio único.
a
Hoy Pol ha vuelto con otros amigos y han tomado 6 refrescos, 5 bocadillos y 8 bolas de helado. Explique razonadamente cuánto han pagado en total.1 pt
b
Si 1 refresco, 1 bocadillo y 1 bola de helado cuestan 5,105{,}10 €, ¿cuánto vale el refresco, el bocadillo y la bola de helado por separado?1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Sea y=f(x)y = f(x) una parábola que tiene el vértice en el punto V=(0,−4)V = (0, -4) y corta al eje de las abscisas en los puntos (−2,0)(-2, 0) y (2,0)(2, 0).
a
Determine su ecuación.1 pt
b
Sea una función gg tal que g′(x)=f(x)g'(x) = f(x). Estudie el crecimiento de la función gg, determine las abscisas de los extremos relativos y clasifíquelos.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Una empresa de materiales para coches fabrica dos modelos de una pieza determinada, que llamaremos A y B. Cada modelo se fabrica en una hora, mediante un proceso que consta de dos fases. En la primera fase del proceso se destinan 5 trabajadores, y en la segunda, 12. Para fabricar cada modelo, en la primera fase se necesita 1 trabajador para cada pieza. En cambio, en la segunda fase se necesitan 2 trabajadores para el modelo A y 3 trabajadores para el modelo B. El beneficio que se obtiene es de 40 € por el modelo A y 50 € por el modelo B.
a
Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región factible.1,25 pts
b
¿Cuántas piezas de cada modelo por hora se deberán fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo?0,75 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Considere el sistema de ecuaciones {2x−y−1=0−x−y+2=0\begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ -x - y + 2 = 0 \end{cases}. Justifique si las afirmaciones siguientes son ciertas:
a
Este sistema de ecuaciones representa dos rectas paralelas porque ambas tienen pendiente −1-1.1 pt
b
Este sistema es compatible determinado y la solución es x=1x = 1, y=1y = 1.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Una compañía de móviles presentó hace un año un teléfono inteligente al precio de 750 €. Recientemente, un estudio de mercado ha llegado a la conclusión de que, con este precio, compran el teléfono 2.0002.000 clientes al mes, y que la relación entre estas dos variables es lineal, de manera que por cada 10 € que se incrementa el precio del móvil, lo compran 100 clientes menos, y a la inversa: por cada 10 € de descuento sobre el precio inicial de 750 €, lo compran 100 clientes más.
a
Deduzca que la función que determina los ingresos mensuales de la compañía según el precio del móvil es I(p)=−10p2+9.500pI(p) = -10p^2 + 9.500p.1 pt
b
Halle cuál debe ser el precio del móvil para obtener ingresos, el precio del móvil que da los ingresos mensuales más elevados y el valor de estos ingresos máximos.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sèrie 5
Un fabricante de automóviles produce los modelos Record y Astrid. Almacena la producción en tres naves. En la primera nave tiene 150 vehículos del modelo Record y 120 vehículos del modelo Astrid. En la segunda guarda 80 Record y 140 Astrid. Finalmente, en la tercera nave almacena 250 Record y 125 Astrid. Además, el precio de los automóviles Record es de 6.5206.520 €, mientras que cada Astrid vale 8.1308.130 €. Toda esta información está recogida en las matrices siguientes:A=(15012080140250125),P=(6.5208.130) y B=(111)A = \begin{pmatrix} 150 & 120 \\ 80 & 140 \\ 250 & 125 \end{pmatrix}, P = \begin{pmatrix} 6.520 \\ 8.130 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
a
¿Qué representa la matriz B⋅AB \cdot A? Calcúlela.1 pt
b
¿Qué representa la matriz B⋅A⋅PB \cdot A \cdot P? Calcúlela.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sèrie 1
El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la función P(t)=5+t2(t+1)2P(t) = \frac{5 + t^2}{(t + 1)^2}, en la que tt mide el número de años transcurridos.
a
¿Cuál es la población inicial y la población después de 9 años? ¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos?1 pt
b
Con el paso de los años, ¿hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población?1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sèrie 5
A continuación se muestra la gráfica de una función ff que presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa x=−1x = -1 y un máximo relativo en el punto de abscisa x=1x = 1.
Gráfica de una función continua con un mínimo relativo en x = -1 y un máximo relativo en x = 1, pasando por el origen (0,0).
a
Sabiendo que f′(0)=1f'(0) = 1, determine la ecuación de la recta tangente a ff que pasa por el origen de coordenadas.1 pt
b
Haga un esbozo de la gráfica de la función f′f' con los datos de que dispone.1 pt
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