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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2022Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. No podéis leer el enunciado hasta que el profesor no os autorice. No os podéis mover del sitio para pedir dudas sobre el examen, sino que tenéis que hacerlo desde vuestro sitio. Durante el examen no está permitido emplear teléfono móvil (lo tendréis que tener apagado dentro de la bolsa), reloj ni cualquier otro dispositivo electrónico. Recordad pegar la etiqueta identificadora en la hoja de respuestas en los lugares indicados. Recordad que durante el examen no está permitido pasar ningún tipo de material a otra persona. Si termináis la prueba antes de que expire el tiempo asignado, tenéis que levantar el brazo para esperar instrucciones. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Hace un año una sociedad de capital riesgo invirtió 100000100000 euros en acciones de tres empresas, que llamaremos A, B y C. Ahora, las acciones de la empresa A han aumentado de valor en un 50%50\%, las de la empresa B han aumentado en un 10%10\% y, en cambio, las de la empresa C han perdido un 15%15\% de su valor. Si la sociedad ahora vendiese todas las acciones obtendría 102000102000 euros. Sabemos que invirtió en las acciones de la empresa C lo mismo que en las otras dos juntas.
a
Identificad las variables e interpretad el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales.5 pts
b
Calculad la cantidad de dinero que la sociedad invirtió en acciones de cada empresa.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
En un taller se fabrican dos tipos de bolsos. Para hacer un bolso del primer modelo se necesitan 0,9 m20{,}9\,\text{m}^2 de cuero y 88 horas de trabajo. Para el segundo modelo se necesitan 1,2 m21{,}2\,\text{m}^2 de cuero y 44 horas de trabajo. Para hacer estos dos tipos de bolsos el taller dispone de 60 m260\,\text{m}^2 de cuero y puede dedicar un máximo de 400400 horas de trabajo. El taller cobra 3030 euros por un bolso del primer modelo y 2525 por uno del segundo.
a
Plantead la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal.4 pts
b
Dibujad la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts
c
Calculad el número de bolsos de cada tipo que se han de fabricar para obtener un beneficio máximo. Determinad también este beneficio máximo.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones{x−ay+2z=0ax−4y−4z=04x+3y−2z=0\begin{cases} x - ay + 2z = 0 \\ ax - 4y - 4z = 0 \\ 4x + 3y - 2z = 0 \end{cases}dependiendo del parámetro aa.
a
Discutid para qué valores de aa el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso.6 pts
b
Hallad la solución en el caso que a=2a = 2.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Considerad la función a trozos siguientef(x)={x2−3x+2si x<0x3+ax+2si x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 0 \\ x^3 + ax + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calculad los valores de aa para que f(x)f(x) sea continua y derivable.5 pts
b
Para a=4a = 4 calculad el área comprendida entre la gráfica de f(x)f(x) y las rectas x=0x = 0, x=1x = 1 e y=0y = 0.5 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
El gasto mensual en euros en lotería de un trabajador viene determinado por su salario mediante la funciónf(x)=100xb+x2,f(x) = \frac{100x}{b + x^2},en que x≥0x \geq 0 representa el salario en miles de euros y b>0b > 0 es un parámetro.
a
Hallad el valor de bb para el cual el máximo del gasto se obtiene con un salario de 22 mil euros.3 pts
b
Para b=9b = 9, determinad el salario para el cual el gasto es máximo. ¿A cuánto asciende este gasto?4 pts
c
Para b=9b = 9, ¿para qué salarios el gasto mensual es superior a 1010 euros?3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Si el precio de la entrada de un cine es de 88 euros, van 500500 personas. El propietario sabe por experiencia que por cada aumento de 1,51{,}5 euros en el precio de la entrada van 3030 espectadores menos. Hallad:
a
La función que determina el número de espectadores en función del precio de la entrada.3 pts
b
La función que determina los ingresos del cine en función del precio de la entrada.2 pts
c
El precio de la entrada para que los ingresos del propietario sean máximos.3 pts
d
El número de espectadores que irán al cine cuando el precio sea el que corresponde a los ingresos máximos y estos ingresos máximos.2 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
La producción en kilogramos de naranjas por naranjo en Sóller sigue una distribución normal de desviación típica 22 y media desconocida.
a
Calculad el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la media poblacional con un nivel de confianza del 94%94\%, el error cometido sea inferior a 1,5 kg1{,}5\,\text{kg}.5 pts
b
Si se toma una muestra aleatoria de 1010 naranjos, con producciones en kilogramos: 30,25,4,70,45,60,21,32,9,4730, 25, 4, 70, 45, 60, 21, 32, 9, 47. Calculad un intervalo de confianza del 97%97\% para estimar la producción media de naranjas por árbol.5 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
En una cierta empresa de exportación, el 62,5%62{,}5\% de los empleados habla inglés. Por otro lado, entre los empleados que hablan inglés, el 80%80\% habla también alemán. Entre los empleados que no hablan inglés, solo la tercera parte sí que habla alemán.
a
¿Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas?4 pts
b
¿Qué porcentaje de empleados habla alemán?3 pts
c
Si un empleado no habla alemán, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés?3 pts
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