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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2013

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales:{2x+y+az=−1−x+ay−z=22ax−2y+a2z=2,a∈R\begin{cases} 2x + y + az = -1 \\ -x + ay - z = 2 \\ 2ax - 2y + a^2z = 2 \end{cases}, a \in \mathbb{R}Estúdialo para los distintos valores del parámetro aa y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
De entre todos los rectángulos de perímetro 16 cm16\,\text{cm}, determina las dimensiones del rectángulo que tiene la diagonal menor. Calcula la longitud de dicha diagonal.2 pts
b
Calcula el valor de a∈R,a>0a \in \mathbb{R}, a > 0, para que el área de la región plana encerrada entre la parábola y=x2y = x^2 y la recta y=ay = a sea igual a 43\frac{4}{3} unidades de superficie.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Los puntos A=(1,3,1)A = (1, 3, 1) y B=(2,1,3)B = (2, 1, 3) son dos vértices consecutivos de un cuadrado. Los otros dos vértices del cuadrado pertenecen a una recta rr que pasa por el punto P=(2,7,0)P = (2, 7, 0).
a
Calcula la ecuación de la recta rr.1 pt
b
Determina la ecuación general del plano π\pi que contiene al cuadrado.1 pt
c
Calcula las coordenadas de los otros dos vértices del cuadrado.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
a
Calcula la matriz XX que verifica la ecuación AXA=A2+AA X A = A^2 + A, siendo A=(1−121)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.2 pts
b
Sea MM una matriz cuadrada tal que det⁡(M)=−1\det(M) = -1 y det⁡((−2)M)=8\det((-2)M) = 8. Calcula el tamaño de la matriz MM.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula los valores de a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} para que la gráfica de la función f(x)=ax2+bx+cx2−4f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 - 4} tenga como asíntota horizontal la recta y=2y = 2 y un mínimo en (0,1)(0, 1).1 pt
b
Estudia si la función g(x)={−x2+1si x<01si x≥0g(x) = \begin{cases} -x^2 + 1 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} es derivable en x=0x = 0.1 pt
c
¿Cuántos puntos de inflexión puede tener como máximo una función polinómica de grado cuatro?1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera la recta r≡x−5−1=y−2=zr \equiv \frac{x - 5}{-1} = y - 2 = z y sea ss la recta que pasa por los puntos A=(1,6,6)A = (1, 6, 6) y B=(4,c,5)B = (4, c, 5).
a
Determina el valor del parámetro cc para que las rectas rr y ss se corten. Halla el punto de corte PP.1,5 pts
b
Calcula la ecuación general del plano π\pi que contiene a las dos rectas rr y ss.1 pt
c
Halla el coseno del ángulo α\alpha que forman las rectas rr y ss. (Si no has determinado el valor del parámetro cc, calcula cos⁡α\cos \alpha en función de cc).0,75 pts
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