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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Para cada número real aa, la matrizA=(a1111a1111a11111)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}tiene determinante ∣A∣=(a−1)3|A| = (a - 1)^3. A partir de este hecho, halla el determinante de las siguientes matrices:B=(0111101111011111),C=(a+11112a1121a12111),D=(2a2221a1111a11111)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2a & 2 & 2 & 2 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea gg la función tal que g(π2)=0g(\frac{\pi}{2}) = 0 y su derivada es igual ag′(x)=sen⁡xx,x>0g'(x) = \frac{\sen x}{x}, \quad x > 0
i
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de gg en el punto (π2,0)(\frac{\pi}{2}, 0).
ii
Sea h(x)=g(x)xh(x) = \frac{g(x)}{x}. Calcula h′(π2)h'(\frac{\pi}{2}).
iii
Determina ∫x2g′(x) dx\int x^2 g'(x) \, dx.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea f(x)=x2−x+1f(x) = \sqrt{x^2 - x + 1}.
i
Determina el dominio de ff.
ii
Halla sus asíntotas.
iii
Determina los extremos relativos y estudia la monotonía de ff.
iv
Dibuja la gráfica de ff destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Consideremos el punto P(6,−1,5)P(6, -1, 5) y la rectar:{x=5+ty=−tz=1−2t,t∈Rr: \begin{cases} x = 5 + t \\ y = -t \\ z = 1 - 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}
i
Halla la ecuación del plano, π\pi, perpendicular a rr que contiene a PP.
ii
Determina el punto QQ donde la recta rr corta al plano π\pi.
iii
Determina el punto SS simétrico de PP respecto a la recta rr.
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Para cada número real aa, la matrizA=(a1111a1111a11111)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}tiene determinante ∣A∣=(a−1)3|A| = (a - 1)^3. A partir de este hecho, halla el valor del determinante de las siguientes matrices:B=(0111101111011111),C=(a+11112a1121a12111),D=(2a2221a1111a11111)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} a + 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & a & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2a & 2 & 2 & 2 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea gg la función tal que g(π2)=0g(\frac{\pi}{2}) = 0 y su derivada es igual ag′(x)=sen⁡xx,x>0g'(x) = \frac{\sen x}{x}, \quad x > 0
i
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de gg en el punto (π2,0)(\frac{\pi}{2}, 0).
ii
Sea h(x)=g(x)xh(x) = \frac{g(x)}{x}. Calcula h′(π2)h'(\frac{\pi}{2}).
iii
Determina ∫x2g′(x) dx\int x^2 g'(x) \, dx.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Si aa y bb son números reales arbitrarios, consideramos la funciónf(x)={asen⁡x+bcos⁡x,si x<π2sen⁡2x−acos⁡x,si x≥π2f(x) = \begin{cases} a \sen x + b \cos x, & \text{si } x < \frac{\pi}{2} \\ \sen^2 x - a \cos x, & \text{si } x \geq \frac{\pi}{2} \end{cases}
i
Estudia, según los valores de aa y bb, la derivabilidad de la función ff.
ii
Calcula la función derivada f′(x)f'(x) en los casos en que f(x)f(x) sea derivable en todo su dominio.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de α\alpha, y resuélvelo cuando sea compatible determinado:{x+y+z=2α−12x+y+αz=αx+αy+z=1\begin{cases} x + y + z = 2\alpha - 1 \\ 2x + y + \alpha z = \alpha \\ x + \alpha y + z = 1 \end{cases}
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