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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2023

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN. El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección sólo se tendrán en cuenta las cinco primeras cuestiones/preguntas respondidas. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el sexto lugar. Se deben justificar todas las respuestas y soluciones.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Estudiar el rango de la matriz A−λ⋅IA - \lambda \cdot I según los valores de λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, donde A=(002101−103)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} e II es la matriz identidad de orden 3.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+y+z=2a−12x+y+az=ax+ay+z=1\begin{cases} x + y + z = 2a - 1 \\ 2x + y + az = a \\ x + ay + z = 1 \end{cases}
a
Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Resolver el sistema en el caso a=1a = 1.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean los vectores u⃗=(0,0,2)\vec{u} = (0, 0, 2), v⃗=(1,1,0)\vec{v} = (1, 1, 0) y w⃗=(2,−1,1)\vec{w} = (2, -1, 1).
a
¿Son u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} linealmente independientes?0,5 pts
b
Calcular el área del triángulo formado por los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.0,75 pts
c
Calcular un vector de módulo uno perpendicular a los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean los puntos A=(0,0,2)A = (0, 0, 2) y B=(1,1,0)B = (1, 1, 0) y la recta r≡{x=1y=zr \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}
a
Hallar el plano que contiene a rr y es paralelo al vector AB⃗\vec{AB}.1,25 pts
b
Hallar la distancia del punto AA a la recta rr.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcular los coeficientes a,b,ca, b, c y dd del polinomio p(x)=a+bx+cx2+dx3p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: • p(x)p(x) tiene un máximo relativo en x=−1x = -1, y • la gráfica de p(x)p(x) tiene un punto de inflexión en (0,0)(0, 0), y • la recta tangente a la gráfica de p(x)p(x) en x=2x = 2 tiene pendiente 3.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Encontrar los valores de aa y bb para que la función f(x)={2x2+ax+bsi x≤1ln⁡(x)si x>1f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases} sea continua en x=1x = 1 y su gráfica pase por el punto (−1,5)(-1, 5).
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Determinar la primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=(x+1)ex+1f(x) = (x + 1)e^{x + 1} que cumple F(0)=−1F(0) = -1.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcular el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones f(x)=x3−3x2+3xf(x) = x^3 - 3x^2 + 3x y g(x)=xg(x) = x.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Un club de montaña organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El 70 % de ellos se apuntan a escalada, el 60 % a barranquismo y el 45 % de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado:
a
Calcular la probabilidad de que practique sólo una de las dos actividades.0,75 pts
b
Calcular la probabilidad de que no practique ninguna.0,5 pts
c
Sabiendo que hace barranquismo, calcular la probabilidad de que no haga escalada.0,75 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Los relojes de cierta marca tienen una vida útil que se ajusta a una distribución normal de media 10 años y desviación típica de 2 años. Si compramos un reloj de esta marca:
Datos
  • Distribución normal μ=10\mu = 10 años
  • σ=2\sigma = 2 años
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar mostrando el área F(z) hasta un valor z.
a
Calcular la probabilidad de que dure entre 9 y 12 años.1 pt
b
¿Cuánto tiempo tendrá que durar el reloj si queremos que el 90 % de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro?1 pt
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