Matemáticas II · Extremadura 2023

Estudiar el rango de la matriz $A - \lambda \cdot I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y + z = 2a - 1 \\ 2x + y + az = a \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$

Sean los vectores $\vec{u} = (0, 0, 2)$, $\vec{v} = (1, 1, 0)$ y $\vec{w} = (2, -1, 1)$.

Sean los puntos $A = (0, 0, 2)$ y $B = (1, 1, 0)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = z \end{cases}$

Calcular los coeficientes $a, b, c$ y $d$ del polinomio $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3$, sabiendo que cumple todas las condiciones siguientes: • $p(x)$ tiene un máximo relativo en $x = -1$, y • la gráfica de $p(x)$ tiene un punto de inflexión en $(0, 0)$, y • la recta tangente a la gráfica de $p(x)$ en $x = 2$ tiene pendiente 3.

Encontrar los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + ax + b & \text{si } x \leq 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$ sea continua en $x = 1$ y su gráfica pase por el punto $(-1, 5)$.

Determinar la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = (x + 1)e^{x + 1}$ que cumple $F(0) = -1$.

Calcular el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ y $g(x) = x$.

Un club de montaña organiza dos tipos de actividades para sus afiliados. El 70 % de ellos se apuntan a escalada, el 60 % a barranquismo y el 45 % de ellos practica las dos. Si se elige al azar un afiliado:

Los relojes de cierta marca tienen una vida útil que se ajusta a una distribución normal de media 10 años y desviación típica de 2 años. Si compramos un reloj de esta marca: