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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada problema se puntúa sobre 10 puntos. Supongamos que P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 y P4P_4 son las calificaciones de los problemas sobre 10. La calificación final se obtiene de aplicar la fórmula siguiente: 415⋅(P1+P2+P3)+15⋅P4\frac{4}{15} \cdot (P_1 + P_2 + P_3) + \frac{1}{5} \cdot P_4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que traigan información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Las edades de Juan, Miguel y Gabriel suman 70 años. La edad de Juan, el doble de la edad de Miguel y el triple de la edad de Gabriel suman 160 años y la edad de Gabriel iguala a la suma de las edades de Juan y Miguel.
a
Hallar las edades de Juan, Miguel y Gabriel.7 pts
b
¿En qué año nació cada uno?3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Entre dos torres de 15 y 25 metros de altura, respectivamente, hay una distancia de 30 metros. En medio de las dos torres tenemos que poner otra torreta de 5 metros de altura y tenemos que extender un cable que una los extremos de la parte de arriba de la primera torre con la torreta y los extremos de la parte de arriba de ésta con la segunda torre.
a
¿Dónde tenemos que situar la torreta de 5 metros para que la longitud total del cable sea mínima?7 pts
b
¿Cuánto vale la longitud del cable en este caso?3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideremos el cubo que aparece a la figura adjunta. Supongamos que el punto CC tiene coordenadas (1,1,1)(1, 1, 1), las aristas del cubo son paralelas a los ejes coordenados (o sea, la arista AEAE es paralela al eje XX, la arista ADAD, al eje YY y la arista ABAB, al eje ZZ) y los lados del cubo tienen longitud 2.
Representación de un cubo con vértices etiquetados de A a H.
a
Hallar el plano que pasa por los puntos A,E,CA, E, C y GG.7 pts
b
Hallar la recta perpendicular al plano anterior que pasa por el punto DD.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
El tiempo que un alumno puede estar concentrado y escuchar al profesor en una clase de Matemáticas se modela como una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.
a
Hallar la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de 20 minutos.3 pts
b
Hallar la probabilidad de que un alumno esté concentrado entre 10 y 30 minutos.3 pts
c
Nos dicen que la probabilidad de que un alumno esté concentrado más de xx minutos vale 0,750{,}75. Hallar este valor de xx minutos.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:
a
Discutir para qué valores de aa el sistema siguiente es compatible:{ax+y−2z=−1−x+ay+z=23x+y−z=0y+z=3\begin{cases} ax + y - 2z = -1 \\ -x + ay + z = 2 \\ 3x + y - z = 0 \\ y + z = 3 \end{cases}6 pts
b
Resolvedlo en el caso en que sea compatible.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Consideremos la función f(x)=x⋅∣x−1∣f(x) = x \cdot |x - 1|.
a
Hacer un dibujo aproximado de la función anterior en el intervalo [0,2][0, 2].6 pts
b
Hallar el área limitada por la gráfica de la función anterior y el eje de las XX.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dados los puntos A(1,0,3)A(1, 0, 3) y B(1,3,4)B(1, 3, 4):
a
Hallar los puntos situados en el plano z=1z = 1 que formen con los puntos AA y BB un triángulo equilátero.6 pts
b
Hallar el volumen del tetraedro formado por los 3 puntos anteriores y el origen de coordenadas.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Suponemos que los estudiantes de la UIB sólo tienen dos sistemas operativos en sus teléfonos móviles: Android e iOS (el de los iPhone). El 80%80\% de los estudiantes de la UIB tienen el sistema operativo Android. El 25%25\% de las chicas estudiantes de la UIB tienen iOS en su teléfono móvil y el 45%45\% de los estudiantes de la UIB son chicos.
a
Hallar la probabilidad de que un muchacho de la UIB tenga iOS en su teléfono móvil.6 pts
b
Hallar la probabilidad de que un estudiante que tenga Android en el teléfono móvil sea chica.4 pts
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