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la cuevadel empollón
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Matemáticas CCSS · Andalucía 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un fabricante de complementos alimenticios elabora dos tipos de bebidas energéticas a partir de tres componentes: taurina, cafeína y L-carnitina. Un envase del primer tipo de bebida precisa 30 g de taurina, 40 g de cafeína y 20 g de L-carnitina, mientras que uno del segundo necesita 40 g de taurina, 30 g de cafeína y 10 g de L-carnitina. Sabiendo que dispone de 52 kg de taurina, 46 kg de cafeína y 20 kg de L-carnitina, que cada envase del primer tipo se vende por 1,51{,}5 € y cada envase del segundo tipo por 1 €, ¿cuántos envases de cada tipo de bebida tendría que elaborar para obtener la ganancia máxima? ¿A cuánto ascendería esta ganancia?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad invertida, xx, por la siguiente expresión:R(x)={x−2si1≤x<2−x2+10x−16si2≤x≤6R(x) = \begin{cases} x - 2 & \text{si} & 1 \leq x < 2 \\ -x^2 + 10x - 16 & \text{si} & 2 \leq x \leq 6 \end{cases}donde tanto xx, como R(x)R(x), están expresadas en millones de euros.
a
Estudie la continuidad de la función RR.0,75 pts
b
Esboce la gráfica de la función.0,75 pts
c
¿Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? ¿Para qué valores de xx la rentabilidad es positiva?1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En un estudio sobre los niveles de audiencia de dos cadenas de radio, se obtuvo que el 50 % de la población escucha la cadena A, el 40 % escucha la cadena B y el 20 % oye ambas.
a
Halle el porcentaje de la población que escucha alguna de las dos cadenas.1 pt
b
Calcule el porcentaje de la población que escucha solo la cadena B.0,5 pts
c
Halle el porcentaje de la población que escucha solo una de las dos cadenas.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un centro docente hay 160 alumnos matriculados en 1º de ESO, 120 en 2º, 120 en 3º, 80 en 4º, 240 en 1º de Bachillerato y 200 en 2º. Se quiere constituir una comisión en la que todos los cursos estén representados de forma proporcional.
a
¿Cuántos alumnos debe haber en la comisión y cuántos de cada curso si dicha comisión está formada por el 5 % del total del alumnado?1,25 pts
b
¿Cuál sería la composición de la comisión si queremos que haya 9 alumnos de 2∘2^{\circ} de ESO?1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones:y≤2x+1y≤13−4xx≥4−yy \leq 2x + 1 \quad y \leq 13 - 4x \quad x \geq 4 - y
a
Razone si el punto de coordenadas (1,1,2,8)(1{,}1, 2{,}8) pertenece al recinto.0,5 pts
b
¿En qué puntos alcanza la función F(x,y)=−3x+1,5yF(x, y) = -3x + 1{,}5y sus valores extremos y cuáles son éstos?1,5 pts
c
Razone si existe algún punto del recinto en el que la función FF se anule.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={ax−3x2six≤12x2+bsix>1f(x) = \begin{cases} ax - 3x^2 & \text{si} \quad\allowbreak x \leq 1 \\ 2x^2 + b & \text{si} \quad\allowbreak x > 1 \end{cases}
a
Calcule los valores de aa y bb para que la función ff sea derivable en x=1x = 1.1,5 pts
b
Para a=3a = 3 y b=−2b = -2, estudie la monotonía y curvatura de la función ff.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
A una asamblea en la Universidad asisten 420 alumnos de los cuales 180 son de Empresariales, 72 de Relaciones Laborales y el resto de Derecho. Un tercio de los alumnos de Empresariales, dos tercios de los de Derecho y 16 alumnos de Relaciones Laborales votan NO a la huelga. El resto ha votado SÍ.
a
Calcule la probabilidad de que elegido un alumno al azar, sea de Empresariales y haya votado SÍ a la huelga.0,9 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar haya votado SÍ a la huelga?0,8 pts
c
Si elegido un alumno al azar, resulta que ha votado NO a la huelga, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Relaciones Laborales?0,8 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El tiempo diario, en horas, que dedican los alumnos de una Facultad a las redes sociales sigue una ley Normal de desviación típica 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 alumnos con los siguientes tiempos en horas:6,576,2575,57,256,756,2566,56{,}5 \quad 7 \quad 6{,}25 \quad 7 \quad 5{,}5 \quad 7{,}25 \quad 6{,}75 \quad 6{,}25 \quad 6 \quad 6{,}5
a
Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el tiempo medio diario dedicado por los alumnos de esa Facultad a las redes sociales.1,5 pts
b
Utilizando el mismo nivel de confianza anterior, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el tiempo medio diario, para un error de estimación máximo de 0,10{,}1 horas.1 pt
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