Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no sean programables. La tabla de la distribución normal está en el reverso de esta hoja.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Un vehículo utiliza como combustible una mezcla de gasolina y queroseno. Se deben cumplir las restricciones: (i) La capacidad del depósito es de 1010 litros; (ii) la cantidad GG (en litros) de gasolina debe ser, como mínimo, 2/32/3 de la de queroseno KK, donde K≥0K \geq 0; (iii) un litro de gasolina cuesta 11 € y uno de queroseno 0,50{,}5 €, siendo 88 € el límite de gasto total. Responder las siguientes cuestiones:
a
Dibuja la región del plano KGKG en la que las cantidades de litros de gasolina GG y queroseno KK son compatibles con las restricciones (i), (ii) y (iii).1,5 pts
b
La función F(G,K)=8G+5KF(G, K) = 8G + 5K representa la distancia, en kilómetros, recorrida por el vehículo en función de los consumos de gasolina y queroseno. Calcular los valores óptimos de GG y KK compatibles con las restricciones y que le permitan recorrer mayor distancia.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función h(x)=a+ln⁡(x)−6x+2x2h(x) = a + \ln(x) - 6x + 2x^2 definida en el intervalo 0,01≤x≤30{,}01 \leq x \leq 3 donde la función ln⁡(x)\ln(x) representa el logaritmo neperiano de xx. Responder:
a
¿Cuánto debe valer el parámetro aa para que se cumpla h(1)=−1h(1) = -1?1,5 pts
b
Dada la función f(x)=4+ln⁡(x)−6x+2x2f(x) = 4 + \ln(x) - 6x + 2x^2, definida en el mismo intervalo 0,01≤x≤30{,}01 \leq x \leq 3, ¿cuáles son las coordenadas de los máximos y mínimos locales de f(x)f(x) en dicho intervalo? (Ayuda: resolver xf′(x)=0xf'(x) = 0)1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Un equipo de fútbol pasa una encuesta a sus socios para estimar la asistencia a los partidos. Un socio contesta que si el partido se juega en fin de semana (sábado o domingo) acude un 90%90\% de las veces y, si es en alguno de los otros días, su asistencia baja al 70%70\%. Suponiendo que la elección del día de la semana es aleatoria, calcula:
a
Si este fin de semana hay partido, ¿qué probabilidad hay de que no asista?0,66 pts
b
Si la próxima semana hay partido, ¿cuál es la probabilidad de que asista?0,67 pts
c
Si la semana pasada asistió a un partido, ¿cuál es la probabilidad de que se celebrara en fin de semana?0,67 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
En una piscifactoría se quiere estimar la proporción de hembras entre la población de peces, para lo cual, se toma una muestra aleatoria de 500500 peces. Después del recuento, resulta que 175175 son hembras. Se pide calcular:
a
El intervalo de confianza para la proporción de hembras en esa población de peces, correspondiente a un nivel de confianza del 94%94\%.1 pt
b
¿cuál es el tamaño mínimo que debería tener la muestra para que el error máximo de la estimación de la proporción de hembras sea ≤0,02\leq 0{,}02, con un nivel de confianza del 94%94\%?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
3 puntos
Responda a las siguientes cuestiones sobre matrices:
a
Calcular los parámetros a,b,c,da, b, c, d para que se cumpla la igualdad F⋅G=H⋅KF \cdot G = H \cdot K, con las siguientes matrices:F=(1+a−b−12+b1),G=(−2143−d),H=(2a+2−2c−2),K=(−12b3)\mathrm{F} = \begin{pmatrix} 1 + a - b & - 1 \\ 2 + b & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{G} = \begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ 4 & 3 - d \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{H} = \begin{pmatrix} 2 a + 2 & - 2 \\ c & - 2 \end{pmatrix}, \qquad \mathrm{K} = \begin{pmatrix} - 1 & 2 \\ b & 3 \end{pmatrix}1,5 pts
b
Determinar el exponente nn de la matriz AA para que se cumpla:An=(−204800−2048),donde A=(0−210)A^n = \begin{pmatrix} - 2048 & 0 \\ 0 & - 2048 \end{pmatrix}, \quad \text{donde } A = \begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
La siguiente función f(x)f(x), mide los beneficios de una compañía de telecomunicaciones con respecto al número (x≥1x \geq 1) de antenas instaladas:f(x)=100−98x−2xf(x) = 100 - \frac{98}{x} - 2x
a
Calcular el número de antenas xx que maximiza los beneficios.1,5 pts
b
¿En qué intervalo debe encontrarse xx para que el beneficio sea positivo?1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
De un grupo de personas sabemos que el 60%60\% están casadas. Entre las personas casadas, el 80%80\% tiene trabajo y, por otro lado, el 10%10\% de las personas solteras está en paro.
a
Si una persona elegida al azar tiene trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que esté casada?1 pt
b
Entre las personas que están en paro, ¿cuál es el porcentaje de las personas que están casadas?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Según los datos de una encuesta, se conoce que, en una determinada zona rural, el tiempo en minutos que dedican a ver la televisión los fines de semana, es una variable aleatoria que sigue una distribución N(μ,75)N(\mu, 75). Elegida una muestra de televidentes, se ha obtenido el intervalo de confianza (188,18,208,82)(188{,}18, 208{,}82) para la media μ\mu de esa distribución, con un nivel de confianza del 99%99\%. Calcular:
a
La media muestral y el tamaño mínimo de la muestra.1 pt
b
El error máximo cometido en la estimación de la media μ\mu, si se hubiese utilizado una muestra de tamaño n=500n = 500 y el nivel de confianza es del 96%96\%.1 pt
Ver este ejercicio