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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2022

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(101−12−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, B=(111010)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} y C=(110−1)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Se pide:
a
Demostrar que C−ABTC - AB^T tiene inversa y calcularla.4 pts
b
Calcular la matriz XX que verifica CX=ABTX+ICX = AB^T X + I, donde II es la matriz identidad.3 pts
c
Justificar que (ABT)n=2nI(AB^T)^n = 2^n I para todo número natural nn.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dada la matrizA=(m0m−1−2mm2102m1)A = \begin{pmatrix} m & 0 & m - 1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{pmatrix}Determinar:
a
El rango de la matriz AA en función del parámetro real mm.4 pts
b
La matriz inversa de AA en el caso m=2m = 2.4 pts
c
El número real mm para el cual el determinante de la matriz 2A2A es igual a −8-8.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dadas las rectas r:{x=z−1y=2−3zr: \begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3z \end{cases} y s:{x=4−5zy=4z−3s: \begin{cases} x = 4 - 5z \\ y = 4z - 3 \end{cases}
a
Indicar justificadamente la posición relativa de rr y ss.5 pts
b
Hallar la ecuación de la recta tt que pasa por el origen y corta a rr y ss.5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dados los planos π1:2x−y−z+4=0\pi_1: 2x - y - z + 4 = 0 y π2:{x=−1+αy=1+α+βz=α−β\pi_2: \begin{cases} x = -1 + \alpha \\ y = 1 + \alpha + \beta \\ z = \alpha - \beta \end{cases}, y la recta r:x−11=y2=z−2−1r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{-1}.
a
Calcular la posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.3 pts
b
Calcular el punto P′P' que es simétrico al punto P=(1,0,0)P = (1, 0, 0) respecto del plano π1\pi_1.4 pts
c
Calcular, si existe, el punto de intersección de π1\pi_1 y rr.3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Consideramos la función f(x)=x2+3x2−4f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4}. Obtener:
a
El dominio y los puntos de corte con los ejes.1 pt
b
Las asíntotas de la función.2 pts
c
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos.3 pts
d
La primitiva de la función f(x)f(x).4 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m240\,\text{m} de longitud.
a
Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor xx que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.3 pts
b
Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.7 pts
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