Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2022

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices A=(101−12−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, B=(111010)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} y C=(110−1)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. Se pide:
a)4 pts
Demostrar que C−ABTC - AB^T tiene inversa y calcularla.
b)3 pts
Calcular la matriz XX que verifica CX=ABTX+ICX = AB^T X + I, donde II es la matriz identidad.
c)3 pts
Justificar que (ABT)n=2nI(AB^T)^n = 2^n I para todo número natural nn.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
10 puntos
Dada la matriz A=(m0m−1−2mm2102m1)A = \begin{pmatrix} m & 0 & m - 1 \\ -2m & m^2 & 1 \\ 0 & 2m & 1 \end{pmatrix} Determinar:
a)4 pts
El rango de la matriz AA en función del parámetro real mm.
b)4 pts
La matriz inversa de AA en el caso m=2m = 2.
c)2 pts
El número real mm para el cual el determinante de la matriz 2A2A es igual a −8-8.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
10 puntos
Dadas las rectas r:{x=z−1y=2−3zr: \begin{cases} x = z - 1 \\ y = 2 - 3z \end{cases} y s:{x=4−5zy=4z−3s: \begin{cases} x = 4 - 5z \\ y = 4z - 3 \end{cases}
a)5 pts
Indicar justificadamente la posición relativa de rr y ss.
b)5 pts
Hallar la ecuación de la recta tt que pasa por el origen y corta a rr y ss.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
10 puntos
Dados los planos π1:2x−y−z+4=0\pi_1: 2x - y - z + 4 = 0 y π2:{x=−1+αy=1+α+βz=α−β\pi_2: \begin{cases} x = -1 + \alpha \\ y = 1 + \alpha + \beta \\ z = \alpha - \beta \end{cases}, y la recta r:x−11=y2=z−2−1r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{-1}.
a)3 pts
Calcular la posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.
b)4 pts
Calcular el punto P′P' que es simétrico al punto P=(1,0,0)P = (1, 0, 0) respecto del plano π1\pi_1.
c)3 pts
Calcular, si existe, el punto de intersección de π1\pi_1 y rr.
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
10 puntos
Consideramos la función f(x)=x2+3x2−4f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4}. Obtener:
a)1 pts
El dominio y los puntos de corte con los ejes.
b)2 pts
Las asíntotas de la función.
c)3 pts
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos.
d)4 pts
La primitiva de la función f(x)f(x).
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
10 puntos
Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m240\,\text{m} de longitud.
a)3 pts
Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor xx que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.
b)7 pts
Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.
Ver este ejercicio