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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2023

6 ejercicios

Instrucciones

El examen consta de 6 ejercicios, todos con la misma valoración máxima (3,33 puntos), de los que puede realizar un MÁXIMO DE 3 combinados como quiera. Si realiza más ejercicios de los permitidos, sólo se corregirán los tres primeros realizados.

Ejercicio 1

1
3,33 puntos
Dada la matrizA=(2aa02−1110)A = \left( \begin{array}{c c c} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)
a
Calcule los valores de aa para los cuales la matriz AA tiene inversa.
b
Para a=1a=1, calcule, si es posible, la inversa de la matriz AA.
c
Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo: {2x+y+z=22y−z=−1x+y=1\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + y + z = 2 } \\ { 2 y - z = -1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.
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Ejercicio 2

2
3,33 puntos
Un barco pesquero se dedica a la captura de jurel y caballa. Las normas sobre cuotas son: las capturas totales no pueden exceder de 30 toneladas (Tm); la cantidad de jurel como máximo puede triplicar la de caballa y la cantidad de caballa no puede superar las 18 Tm. Si el precio al que vende el jurel es de 5 €/kg y el de la caballa 6 €/kg
a
Formule y resuelva el problema que determina las cantidades que debe pescar de cada especie para maximizar los ingresos, cumpliendo las normas.
b
Represente gráficamente la región factible e indique sus vértices. ¿A cuánto ascienden los ingresos máximos?
c
¿Cumpliría las normas sobre cuotas pesqueras si captura 20 Tm de jurel y 6 Tm de caballa? Explique su respuesta.
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Ejercicio 3

3
3,33 puntos
El número de ejemplares vendidos de una revista (en miles de unidades), en los primeros cinco meses del año, viene dado por la funciónN(t)={8−t(t−2)si 0≤t≤32t−1si 3<t≤5donde t es el tiempo transcurrido en mesesN(t) = \left\{ \begin{array}{c} 8 - t(t-2) \quad \text{si } 0 \leq t \leq 3 \\ 2t - 1 \quad \text{si } 3 < t \leq 5 \end{array} \right. \quad \text{donde } t \text{ es el tiempo transcurrido en meses}
a
Estudie el crecimiento y decrecimiento del número de ejemplares vendidos. Calcule en qué momentos se produce el máximo y el mínimo número de ventas y a cuánto ascienden.
b
Represente gráficamente la función N(t)N(t). Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función N(t)N(t), el eje de abscisas y las rectas t=0t=0 y t=5t=5.
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Ejercicio 4

4
3,33 puntos
Dada la función f(x)=xa+axf(x) = \frac{x}{a} + \frac{a}{x}, x≠0x \neq 0, a≠0a \neq 0
a
Calcule los valores del parámetro aa para que f(x)f(x) tenga un punto crítico en x0=3x_0 = 3.
b
Para a=3a=3, estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen. Estudie también sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.
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Ejercicio 5

5
3,33 puntos
En una urna A hay 8 bolas verdes y 6 rojas y en otra urna B hay 4 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado y si sale un número menor que 3 se saca una bola de la urna A y si sale un número mayor o igual a 3 se saca la bola de la urna B. Se extrae una bola al azar.
a
Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
b
Sabiendo que se extrajo una bola verde, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la urna A?
c
¿Son independientes los sucesos "extraer bola roja" y "la bola procede de la urna A"?
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Ejercicio 6

6
3,33 puntos
El salario (en €) de los trabajadores de una empresa se distribuye normalmente con desviación típica σ=300\sigma=300 €. Se preguntó a 36 trabajadores elegidos al azar, y se establece que el salario medio de los trabajadores de la empresa oscila entre 1552 € y 1748 €.
a
¿Cuál ha sido el salario medio de los trabajadores de la muestra? ¿Con qué nivel de confianza se ha establecido el intervalo anterior?
b
Si el salario medio de los trabajadores de la empresa es μ=1650\mu=1650 €, ¿cuál es la probabilidad de que el salario medio de muestras de 36 trabajadores sea superior a 1590 €?
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