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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2026ExtraordinariaVariante Coincidencias

Matemáticas II · Madrid 2026

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3. En la 3, elige b1 o b2; después, elige entre 4.1 y 4.2 y entre 5.1 y 5.2.
Puntuación
Cada pregunta se califica sobre 2 puntos.
Además
Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Un virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un 95 %95\,\% de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 4040 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0,5 %0{,}5\,\% de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.
a
Una persona tiene los síntomas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté infectado por el virus estomacal?1 pt
b
Dadas dos personas que tienen los síntomas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tenga el virus?1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
La potencia instantánea en el momento tt, P(t)P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento tt. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW\text{kW}) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t∈[0,24)t\in[0,24):P(t)={0si 0≤t<83+3sen⁡(π8(t−12))si 8≤t≤200si 20<t<24.\begin{gathered}P(t)={}\\ \begin{cases}0 & \text{si }0\leq t<8 \\ 3+3\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{8}(t-12)\right) & \text{si }8\leq t\leq20 \\ 0 & \text{si }20<t<24\end{cases}.\end{gathered}
a
Determine cuándo esa potencia aumenta y cuándo disminuye. ¿Cuál es el momento del día en que la instalación entrega su potencia máxima?1 pt
b
Halle la energía producida a lo largo del día en kilowatios hora (kWh\text{kWh}).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos

b) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:

Sea SS el conjunto formado por todas las matrices reales 2×22\times2 triangulares superiores para las que el elemento que ocupa el lugar (2,2)(2,2) de la matriz es la suma de los elementos de su primera fila, es decir,S={(ab0a+b) con a,b∈R}.S=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a+b\end{pmatrix}\ \text{con }a,b\in\mathbb{R}\right\}.
a
Pruebe que si AA y BB son dos matrices cualesquiera del conjunto SS, ABAB está en SS.1 pt
b
1 pt
Determine para qué valores de aa y bb las matrices de SS son invertibles. Pruebe que si una matriz de SS tiene inversa, esta es también una matriz de SS.
Calcule todas las matrices AA de SS tales que A2=AA^2=A.
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sean la recta r≡(x,y,z)=(1+t,1+t,1+t)r\equiv(x,y,z)=(1+t,1+t,1+t), t∈Rt\in\mathbb{R}, y el plano π:x+y+z=0\pi:x+y+z=0.
a
Determine la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.1 pt
b
Halle los puntos de la recta rr que se encuentran a distancia 3\sqrt{3} del plano π\pi.1 pt
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sea la recta r≡(x,y,z)=(t,1,t)r\equiv(x,y,z)=(t,1,t), t∈Rt\in\mathbb{R}. Se pide:
a
Hallar dos planos que se corten en la recta rr, que formen entre sí un ángulo de 90∘90^{\circ} y uno de ellos pase por el punto (0,0,1)(0,0,1).1 pt
b
Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta rr son necesariamente paralelas entre sí.1 pt
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Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sea la función f(x)=x2−13x−af(x)=\dfrac{x^2-1}{3x-a}, donde aa es un parámetro real.
a
Halle el valor de aa para que la gráfica de f(x)f(x) presente una asíntota vertical en x=2x=2. Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica.1 pt
b
Obtenga los valores de aa para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas verticales.1 pt
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Para la función f(x)=sen⁡(π∣x2−1∣)f(x)=\operatorname{sen}(\pi|x^2-1|), calcule∫02xf(x) dx .\int_0^2 xf(x)\,dx\,.
Ver este ejercicio