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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2022

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde más preguntas de las permitidas, solo serán corregidas las 5 primeras respondidas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y álgebra
a
Obtenga la matriz antisimétrica MM de orden 2×22 \times 2 tal que a12=1a_{12} = 1. Luego, calcule su inversa en el caso de que exista. Nota: aija_{ij} es el elemento que está en la fila ii y en la columna jj de MM.1 pt
b
Sea A=(01−10)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Si B=(0b121b22)B = \begin{pmatrix} 0 & b_{12} \\ 1 & b_{22} \end{pmatrix}, halle los valores de b12b_{12} y de b22b_{22} sabiendo que BB no tiene inversa y que det⁡(A−1B+A)=−1\det(A^{-1}B + A) = -1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema {(m+1)x+my+z=0y+(m−2)z=−2(m+1)x+my+(m−1)z=−3\begin{cases} (m + 1)x + my + z = 0 \\ y + (m - 2)z = -2 \\ (m + 1)x + my + (m - 1)z = -3 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
a
Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es tangente a la gráfica de f(x)=x2f(x) = x^2 en el punto de abscisa x=2x = 2 y que, además, tiene un cateto de longitud 2 situado sobre el eje XX. Dibuje la gráfica de ff, la recta tangente y el triángulo.1 pt
b
Halle los valores de aa y bb que hacen que la función f(x)={1si x≤1ax2+bxsi x>1f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \leq 1 \\ ax^2 + bx & \text{si } x > 1 \end{cases} sea derivable.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
Calcule las siguientes integrales:
a
∫x2+1x2−4 dx\int \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} \, dx1 pt
b
∫0πxsen⁡x dx\int_0^{\pi} x \sen x \, dx1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
a
Obtenga la ecuación implícita o general del plano que contiene a la recta r ⁣:x+13=y+22=z+31r \colon \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 3}{1} y pasa por el punto P(0,1,0)P(0, 1, 0).1 pt
b
Calcule el punto simétrico de P(11,−14,13)P(11, -14, 13) con respecto al plano π ⁣:3x−8y+7z+8=0\pi \colon 3x - 8y + 7z + 8 = 0.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
Estudie la posición relativa de la recta r ⁣:x+11=y−1k=z3r \colon \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{k} = \frac{z}{3} y el plano π ⁣:ax+4y+3az+2=0\pi \colon ax + 4y + 3az + 2 = 0 en función de los parámetros aa y kk. Luego, si es posible, diga cuándo rr es perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estadística y probabilidad
a
En una famosa biblioteca, el 70% de los libros son novelas, el 40% son clásicos anteriores al siglo XIX y el 60% de los clásicos son novelas. Si se elige en esa biblioteca un libro al azar, calcule la probabilidad de que no sea una novela, pero sí un clásico, y la probabilidad de que sea un clásico sabiendo que es una novela.1 pt
b
En un cierto país, el 80% de los delitos contra la propiedad quedan sin resolver. Si en una localidad de ese país se cometieron 3 de esos delitos, calcule la probabilidad de que se resuelva por lo menos 1.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estadística y probabilidad
a
Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.1 pt
b
Si XX sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule P(X<24)P(X < 24). Luego, calcule el valor de α>0\alpha > 0 tal que P(25−α<X<25+α)=0,2128P(25 - \alpha < X < 25 + \alpha) = 0{,}2128.1 pt
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