Matemáticas II · Andalucía 2025

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, \frac{\pi}{4})$.

Calcula el valor de $k$ para que $\int_{1}^{3} e^{x-k} (x-2) dx = 2$.

Considera la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2 y - z = 4 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv mx - y - 2z = 5$.

Sean las rectas $r \equiv \frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{-1}$ y $s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}$

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = 1$$

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de $70\,\text{km/h}$.