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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2025ExtraordinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de siete ejercicios distribuidos en un bloque con un ejercicio obligatorio y tres bloques con dos ejercicios optativos cada uno. d) Deberá resolver el ejercicio obligatorio y solamente un ejercicio de cada uno de los tres bloques con optatividad. e) En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados. h) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. i) Se proporcionará la tabla de la distribución Normal. Se permite el uso de regla.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorio
Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva el ejercicio 2 o el ejercicio 3.

Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=1x2+2x+2f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}. Calcula una primitiva de ff cuya gráfica pase por el punto (0,π4)(0, \frac{\pi}{4}).

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1

Resuelva el ejercicio 2 o el ejercicio 3.

Calcula el valor de kk para que ∫13ex−k(x−2)dx=2\int_{1}^{3} e^{x-k} (x-2) dx = 2.

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva el ejercicio 4 o el ejercicio 5.

Considera la recta r≡{x−y+z=3x+2y−z=4r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2 y - z = 4 \end{cases} y el plano π≡mx−y−2z=5\pi \equiv mx - y - 2z = 5.
a
Halla mm para que rr y π\pi sean paralelos.1,5 pts
b
Para m=−8m = -8, calcula la distancia de la recta rr al plano π\pi.1 pt

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2

Resuelva el ejercicio 4 o el ejercicio 5.

Sean las rectas r≡x+14=y+23=z−2−1r \equiv \frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{-1} y s≡{x=1−λy=2+λz=−3−2λs \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
b
Halla la ecuación de un plano que contiene a rr y a una recta perpendicular a las rectas rr y ss.1,5 pts

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva el ejercicio 6 o el ejercicio 7.

Calcula aa y bb sabiendo quelim⁡x→0xsen⁡(x)+a(ex−1)+sen⁡(x)bx2+x−sen⁡(x)=1\lim_{x \to 0} \frac{x \operatorname{sen}(x) + a(e^x - 1) + \operatorname{sen}(x)}{bx^2 + x - \operatorname{sen}(x)} = 1

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3

Resuelva el ejercicio 6 o el ejercicio 7.

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de 70 km/h70\,\text{km/h}.
a
En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media 64 km/h64\,\text{km/h} y desviación típica 4 km/h4\,\text{km/h}. Si el radar de control salta a partir de 72 km/h72\,\text{km/h}, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?1 pt
b
En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos que la velocidad media es de 63,6 km/h63{,}6\,\text{km/h} y que el 5,05%5{,}05\% de todos los vehículos viaja a más de 80 km/h80\,\text{km/h}. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?1,5 pts