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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas CCSS · Andalucía 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(2−1ab)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & b \end{pmatrix} y B=(−1130)B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}.
a
Obtenga aa y bb sabiendo que A2=(5−2−21)A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}. ¿Es AA simétrica?1,25 pts
b
Para los valores a=3a = 3 y b=1b = 1 calcule la matriz XX tal que A⋅B=2(X−3I2)A \cdot B = 2(X - 3I_2).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la funciónB(t)=t34−3t2+9t,0≤t≤8B(t) = \frac{t^3}{4} - 3t^2 + 9t, \quad 0 \leq t \leq 8donde la variable tt indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.
a
Estudie la monotonía y los extremos de B(t)B(t).1,5 pts
b
Dibuje la gráfica de B(t)B(t) en el intervalo [0,8][0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su desplazamiento transporte público, el 30% usa vehículo propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte público son mujeres, el 70% de los que usan vehículo propio son hombres y el 52% de los que van andando son mujeres.
a
Elegido al azar un alumno de ese centro, calcule la probabilidad de que sea hombre.1,5 pts
b
Elegido al azar un hombre, alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya andando?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras.
a
Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%.1,5 pts
b
A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0,020{,}02, ¿cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra?1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un fabricante de tapices dispone de 500 kg de hilo de seda, 400 kg de hilo de plata y 225 kg de hilo de oro. Desea fabricar dos tipos de tapices: A y B. Para los del tipo A se necesita 1 kg de hilo de seda y 2 kg de hilo de plata, y para los del tipo B, 2 kg de hilo de seda, 1 kg de hilo de plata y 1 kg de hilo de oro. Cada tapiz del tipo A se vende a 2000 euros y cada tapiz del tipo B a 3000 euros. Si se vende todo lo que se fabrica,
a
¿cuántos tapices de cada tipo ha de fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?2 pts
b
¿Qué cantidad de hilo de cada clase quedará cuando se fabrique el número de tapices que proporciona el máximo beneficio?0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f(x)f(x) una función cuya función derivada, f′(x)f'(x), tiene por gráfica una parábola que corta al eje OXOX en los puntos (−0,5,0)(-0{,}5, 0) y (1,0)(1, 0) y con vértice (0,25,−4)(0{,}25, -4).
a
Estudie razonadamente la monotonía de f(x)f(x).1 pt
b
Determine las abscisas de los extremos relativos de la función f(x)f(x).0,5 pts
c
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=2x = 2, sabiendo que f(2)=5f(2) = 5.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De los sucesos aleatorios independientes AA y BB se sabe que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3 y que P(Bc)=0,25P(B^c) = 0{,}25. Calcule las siguientes probabilidades:
a
P(A∪B)P(A \cup B)0,75 pts
b
P(Ac∩Bc)P(A^c \cap B^c)0,75 pts
c
P(A/Bc)P(A / B^c)1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El tiempo que los españoles dedican a ver la televisión los domingos es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75 minutos. Elegida una muestra aleatoria de españoles se ha obtenido, para la media de esa distribución, el intervalo de confianza (188,18,208,82)(188{,}18, 208{,}82), con un nivel del 99%.
a
Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra.1,5 pts
b
Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 96%.1 pt
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