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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2015

3 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea λ\lambda un parámetro real cualquiera. Considere la matriz:(λ+1−1λ+10λ01−2λ)\begin{pmatrix} \lambda + 1 & - 1 & \lambda + 1 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 1 & - 2 & \lambda \end{pmatrix}
a
Determine el rango de esa matriz según los valores de λ\lambda.2 pts
b
Determine para qué valores de λ\lambda existe la inversa de esa matriz y determine la inversa, si existe, cuando λ=−2\lambda = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Determine la posición relativa de las rectas siguientes:r:{−x−2y+12=03y−z−15=0s:x−25=y+32=z3r: \begin{cases} - x - 2 y + 12 = 0 \\ 3 y - z - 15 = 0 \end{cases} \qquad s: \frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z}{3}1 pt
b
Calcule la distancia entre esas rectas.1 pt
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Considere la funciónf(x)=x2−3exf(x) = \frac{x^2 - 3}{e^x}Determine los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de inflexión, si existen, de la función f(x)f(x).1,5 pts
b
Usando el cambio de variable t=cos⁡(x)t = \cos(x), calcule:∫cos⁡2(x)sen⁡(x)dx\int \frac{\cos^2(x)}{\sen(x)} dx1,5 pts
c
2 pts
c.1
Calcule los valores de aa y bb para que la función f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2 tenga un extremo relativo en el punto (1,2)(1, 2).1 pt
c.2
Calcule el área encerrada por la curva f(x)=2x3−3x2f(x) = 2x^3 - 3x^2 y la parte positiva del eje OXOX.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Considere la matriz y los vectores siguientes:M=(xyzyzxzxy),A=(abc),B=(101),\mathbf{M} = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},donde xx, yy y zz son números reales. Determine xx, yy y zz para que el vector A=(123)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} sea solución del sistema MA=B\mathbf{M} \mathbf{A} = \mathbf{B}.1,5 pts
b
Sean ahora la matriz y vectores siguientes:N=(abcbcacab),X=(xyz),B=(101),\mathbf{N} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},donde aa, bb y cc son números reales que verifican que a≠0a \neq 0, a+b=0a + b = 0, c=ac = a. Determine si el sistema NX=B\mathbf{N} \mathbf{X} = \mathbf{B} es compatible determinado.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Determine, como intersección de dos planos, la ecuación de la recta paralela a la recta:r:{5x−3y+2z=1x+3y−2z=−4r: \begin{cases} 5x - 3y + 2z = 1 \\ x + 3y - 2z = -4 \end{cases}que pasa por el punto (0,2,−4)(0, 2, -4).1 pt
b
Determine la distancia del punto P=(1,1,0)P = (1, 1, 0) a la recta rr anterior.1 pt
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados que no tienen ningún lado común y que satisfacen que el perímetro de uno de ellos es triple que el de otro y, además, se necesitan 1248 metros de valla para vallar completamente los tres campos, de manera que la suma de las áreas es la mínima posible.2 pts
b
Usando el cambio de variable t=ext = e^x, calcule∫2e2xex−2e−xdx\int \frac{2e^{2x}}{e^x - 2e^{-x}} dx1,5 pts
c
Calcule:lim⁡x→1(1x−1−1ln⁡(x))\lim_{x \rightarrow 1} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{\ln(x)} \right)Como norma general, se deben valorar positivamente la exposición lógica, ordenada y coherente de las respuestas. Si en el desarrollo de un problema se detecta un error numérico, que no sea manifiestamente inconsistente con la cuestión, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se debe dar especial relevancia al error, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial o el resultado sea manifiestamente inconsistente con el problema a resolver.1,5 pts
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