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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2011

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que ∣111abcxyz∣=6\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6, calcule, sin utilizar la regla de Sarrus, el valor del siguiente determinante, indicando en cada paso qué propiedad (o propiedades) de los determinantes se está utilizando.∣555abcx2+3ay2+3bz2+3c∣\begin{vmatrix} 5 & 5 & 5 \\ a & b & c \\ \frac{x}{2} + 3a & \frac{y}{2} + 3b & \frac{z}{2} + 3c \end{vmatrix}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determine el punto de la rectar:x+32=y+53=z+43r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z + 4}{3}que equidista del origen de coordenadas y del punto A=(3,2,1)A = (3, 2, 1).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x3−6x2+8xf(x) = x^3 - 6x^2 + 8x, se pide:
a
Determine los puntos de la gráfica de ff para los cuales la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.1,5 pts
b
Determine si, para alguno de dichos puntos, la recta tangente a la gráfica coincide con la bisectriz del segundo cuadrante.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫sen⁡(x)1+cos⁡2(x)dx\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{1 + \cos^2(x)} dx.1,5 pts
b
Evalúe la integral definida ∫0π/2sen⁡(x)1+cos⁡2(x)dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\operatorname{sen}(x)}{1 + \cos^2(x)} dx.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determine para qué valores del parámetro aa la matrizA=(a2aaaa21a1a2)A = \begin{pmatrix} a^2 & a & a \\ a & a^2 & 1 \\ a & 1 & a^2 \end{pmatrix}es regular.1,25 pts
b
Estudie el rango de la matriz AA en los casos en que no sea regular.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considérense los puntos A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) y B=(2,0,3)B = (2, 0, 3), y la rectar:x+1−1=y0=z−20.r: \frac{x + 1}{-1} = \frac{y}{0} = \frac{z - 2}{0}.Determine los puntos CC de la recta rr para los cuales el área del triángulo ABC^\widehat{ABC} es 2. (Indicación: hay 2 puntos CC que son solución del problema).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x−x3f(x) = x - x^3, se pide:
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto (1,0)(1, 0).1,25 pts
b
Calcule los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de ff.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫x2exdx\int x^2 e^x dx.1,5 pts
b
Evalúe la integral definida ∫01x2exdx\int_{0}^{1} x^2 e^x dx.1 pt
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