Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2010

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden utilizar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Halle las asíntotas de la función f(x)=3x3−5x−2x2−4x−5f(x) = \frac{3x^3 - 5x - 2}{x^2 - 4x - 5}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados el plano π:5x+y+3z=4\pi: 5x + y + 3z = 4 y la recta r:{ax−y=22y+z=−3r: \begin{cases} ax - y = 2 \\ 2y + z = -3 \end{cases}, estudie su posición relativa en función del parámetro aa.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere todos los prismas rectos de base cuadrada con un volumen VV fijado. Llame xx al lado de la base del prisma e yy a su altura.
a
Halle la expresión del volumen y del área total del prisma en función de las variables xx e yy.0,5 pts
b
Compruebe que el que tiene área total mínima es en realidad un cubo.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la matriz A=(2173)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}:
a
Compruebe que cumple la igualdad A2−5A=I2A^2 - 5A = I_2, donde I2I_2 es la matriz identidad de orden 2.0,5 pts
b
Utilice esta igualdad para calcular la matriz inversa de AA.0,75 pts
c
Resuelva la ecuación matricial A⋅X=(01−20)A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, utilizando la matriz inversa de AA.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Sea f(x)=8x22x+1f(x) = \frac{8x^2}{2x + 1}. Halle el área del recinto limitado por la gráfica de esta función, el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere la recta r:x+4−2=y−1−1=z−1r: \frac{x + 4}{-2} = \frac{y - 1}{-1} = z - 1.
a
Halle los dos puntos, AA y BB, de la recta rr que están situados a una distancia d=6d = \sqrt{6} del punto P=(−1,1,2)P = (-1, 1, 2).1 pt
b
Halle el área del triángulo de vértices AA, BB y PP.1 pt
Ver este ejercicio