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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2019

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Determine el rango de la matriz AA siguiente, según los diferentes valores del parámetro kk.A=(k0k0k+2011k+2)A = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k + 2 & 0 \\ 1 & 1 & k + 2 \end{pmatrix}2 pts
b
Determine la inversa de la matriz AA anterior cuando k=1k = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
a
Determine el valor de las constantes aa y bb para que los puntos siguientes estén alineados P:(1,1,2)P: (1, 1, 2), Q:(2,2,2)Q: (2, 2, 2) y R:(−1,a,b)R: (-1, a, b) y determine la recta que los contiene.1 pt
b
Dados dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, calcule el vector:(u⃗−v⃗)×(u⃗−v⃗)(\vec{u} - \vec{v}) \times (\vec{u} - \vec{v})Donde el símbolo "×\times" representa el producto vectorial.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0,0)(0, 0), (a,0)(a, 0), (0,b)(0, b) y (a,b)(a, b), donde a>0a > 0 y b>0b > 0 y además el punto (a,b)(a, b) está situado en la curva de ecuación:y=1x2+9y = \frac{1}{x^2} + 9De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.1,5 pts
b
Determine:∫19−x2dx\int \frac{1}{9 - x^2} dx1 pt
c
Determine el valor de la constante kk para que se verifique que:lim⁡x→1x3+x2+kx+3x3−x2−x+1=2\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 + kx + 3}{x^3 - x^2 - x + 1} = 21,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Se dispone de dos cajas, la caja A contiene 3 bolas moradas y 2 bolas rojas; mientras que la caja B contiene 4 bolas moradas y 4 rojas.
a
Se escoge una bola cualquiera de la caja A y se pasa a la caja B. Posteriormente se saca una bola de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la caja B sea morada?0,75 pts
b
Ahora volvemos a la situación original de las cajas; la A contiene 3 moradas y 2 rojas y la B contiene 4 moradas y 4 rojas. Seleccionamos una caja al azar y se saca una bola que resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea de la caja A?0,75 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico. Calcula el número de deportistas de cada disciplina.1,5 pts
b
Sabiendo que a=−2a = -2, calcule el valor del siguiente determinante.∣aa+ba−c2a3a+2b4a−2c3a6a+3b10a−3c∣\begin{vmatrix} a & a + b & a - c \\ 2a & 3a + 2b & 4a - 2c \\ 3a & 6a + 3b & 10a - 3c \end{vmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
a
Determine la ecuación del plano determinado por el punto P:(2,1,2)P: (2, 1, 2) y la recta r:(1,0,0)+t(−1,1,1)r: (1, 0, 0) + t(-1, 1, 1).1 pt
b
Dados los vectores u⃗=(1,2,0)\vec{u} = (1, 2, 0) y v⃗=(2,1,−3)\vec{v} = (2, 1, -3), determine el área del triángulo que tiene por lados esos dos vectores.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
Considere la función:f(x)=x−1(x+1)2f(x) = \frac{x - 1}{(x + 1)^2}
a
Determine las asíntotas de la función, si existen.1,5 pts
b
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de esa función, si existen.1 pt
c
Determine la integral ∫13f(x)dx\int_{1}^{3} f(x) dx1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
La probabilidad de que una persona escriba un mensaje de Twitter sin faltas de ortografía es 0,750{,}75. Se sabe además que una persona escribe a lo largo del día 20 mensajes de Twitter. A partir de esta información, responde a las siguientes cuestiones. NO es necesario finalizar los cálculos en ninguna de ellas, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen.
a
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de los mensajes escritos en un día, es decir 10, no tengan faltas de ortografía?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que ningún mensaje de los 20 escritos en un día tenga faltas de ortografía?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que 18 o más mensajes de los 20 escritos en un día sí tengan faltas de ortografía?0,5 pts
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