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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2020

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno deberá escoger libremente CINCO problemas completos de los DIEZ propuestos. Se expresará claramente los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 5 ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
(Álgebra)
a
Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro λ\lambda:{λx+y=1x+λy+z=2x+y+z=2\begin{cases} \lambda x + y = 1 \\ x + \lambda y + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{cases}1,2 pts
b
Resolverlo para λ=1\lambda = 1.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
(Álgebra) Sea la matriz A=(10mn)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}
a
Encontrar los valores de mm y nn para que se verifique: A2=AtA^2 = A^t (At≡A^t \equiv la traspuesta de AA).1,2 pts
b
¿Para qué valores de mm y nn la matriz AA no es invertible?0,8 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
(Geometría) Dados el punto P(2,1,1)P(2, 1, 1) y la recta r≡x−21=y−3−1=z−4−3r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{-3}
a
Hallar la recta paralela a rr que pase por PP.0,8 pts
b
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto PP y contiene a la recta rr.1,2 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
(Geometría)
a
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y es paralela a la rectar≡{x−y−z−1=0x+y+z−3=0r \equiv \begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases}1 pt
b
Calcular el punto simétrico del (1,2,3)(1, 2, 3) respecto del plano π≡3x+2y+z+4=0\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 01 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
(Análisis) Determinar la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, conociendo que tiene un punto de inflexión en x=1x = 1 y que la recta tangente a su gráfica en el punto (−1,0)(-1, 0) es el eje de abscisas.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
(Análisis) Demostrar que la ecuación x4+3x=1+sen⁡xx^4 + 3x = 1 + \sen x tiene alguna solución real en el intervalo [0,2][0, 2]. Probar que la solución es única.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
(Análisis)
a
Calcular lim⁡x→1x2−x+1−2x−11−x\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x}.1 pt
b
Dada la función f(x)=2x−e−xx2+e−xf(x) = \frac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}}, hallar la función primitiva suya F(x)F(x) que verifique F(0)=3F(0) = 3.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
(Análisis)
a
Dada la función f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
b
Dada la función f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x. Estudiar el signo de la función en el intervalo [1,3][1, 3] y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje OXOX y las rectas x=1x = 1 y x=3x = 3.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
(Probabilidad y estadística) El consumo de azúcar en un determinado país, calculado en kg (kilogramos) por persona y año, varía según una distribución normal de media 1515 y desviación típica 55.
a
¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 1010 kg de azúcar al año?1 pt
b
¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 2525 kg?1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
(Probabilidad y estadística) Los estudiantes, que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un 50%50\% de Andalucía, un 15%15\% de Baleares y un 35%35\% provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes: 15%15\% de Andalucía, 10%10\% de Baleares y 5%5\% de Castilla y León.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a
Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina.1 pt
b
Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León?1 pt
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