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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2020

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
(Álgebra)
a)1,2 pts
Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro λ\lambda: {λx+y=1x+λy+z=2x+y+z=2\begin{cases} \lambda x + y = 1 \\ x + \lambda y + z = 2 \\ x + y + z = 2 \end{cases}
b)0,8 pts
Resolverlo para λ=1\lambda = 1.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
(Álgebra) Sea la matriz A=(10mn)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix}
a)1,2 pts
Encontrar los valores de mm y nn para que se verifique: A2=AtA^2 = A^t (At≡A^t \equiv la traspuesta de AA).
b)0,8 pts
¿Para qué valores de mm y nn la matriz AA no es invertible?
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Ejercicio 3

3
2 puntos
(Geometría) Dados el punto P(2,1,1)P(2, 1, 1) y la recta r≡x−21=y−3−1=z−4−3r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{-3}
a)0,8 pts
Hallar la recta paralela a rr que pase por PP.
b)1,2 pts
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto PP y contiene a la recta rr.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
(Geometría)
a)1 pts
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y es paralela a la recta r≡{x−y−z−1=0x+y+z−3=0r \equiv \begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases}
b)1 pts
Calcular el punto simétrico del (1,2,3)(1, 2, 3) respecto del plano π≡3x+2y+z+4=0\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0
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Ejercicio 5

5
2 puntos
(Análisis) Determinar la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, conociendo que tiene un punto de inflexión en x=1x = 1 y que la recta tangente a su gráfica en el punto (−1,0)(-1, 0) es el eje de abscisas.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
(Análisis) Demostrar que la ecuación x4+3x=1+sen⁡xx^4 + 3x = 1 + \sen x tiene alguna solución real en el intervalo [0,2][0, 2]. Probar que la solución es única.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
(Análisis)
a)1 pts
Calcular lim⁡x→1x2−x+1−2x−11−x\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x}.
b)1 pts
Dada la función f(x)=2x−e−xx2+e−xf(x) = \frac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}}, hallar la función primitiva suya F(x)F(x) que verifique F(0)=3F(0) = 3.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
(Análisis)
a)1 pts
Dada la función f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. Encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b)1 pts
Dada la función f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x. Estudiar el signo de la función en el intervalo [1,3][1, 3] y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje OXOX y las rectas x=1x = 1 y x=3x = 3.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
(Probabilidad y estadística) El consumo de azúcar en un determinado país, calculado en kg (kilogramos) por persona y año, varía según una distribución normal de media 1515 y desviación típica 55.
a)1 pts
¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 1010 kg de azúcar al año?
b)1 pts
¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 2525 kg?
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Ejercicio 10

10
2 puntos
(Probabilidad y estadística) Los estudiantes, que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un 50%50\% de Andalucía, un 15%15\% de Baleares y un 35%35\% provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes: 15%15\% de Andalucía, 10%10\% de Baleares y 5%5\% de Castilla y León.
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a)1 pts
Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina.
b)1 pts
Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León?
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