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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2022

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:{ax+y=1x+z=1x+ay+(a−1)z=a\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + ay + (a - 1)z = a \end{cases}
a
Discutir el sistema en función del parámetro real aa.5 pts
b
Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dada la matriz A=(a+b10a−b)A = \begin{pmatrix} a + b & 1 \\ 0 & a - b \end{pmatrix}:
a
Calcular los valores de los parámetros aa y bb para que se cumpla A−1=(1−101)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.4 pts
b
Para los valores aa y bb obtenidos en el apartado anterior, calcular A3A^3 y A4A^4.3 pts
c
Calcular det⁡(A−50)\det(A^{-50}) cuando a2−b2≠0a^2 - b^2 \neq 0.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dados los puntos A=(2,0,0)A = (2, 0, 0) y B=(0,1,0)B = (0, 1, 0), y la recta r:x−12=y−13=zr: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = z:
a
Hallar la ecuación de la recta ss que pasa por los puntos AA y BB.2 pts
b
Determinar la ecuación implícita del pla que contiene a la recta ss y es paralelo a la recta rr.4 pts
c
Calcular la distancia del punto AA a la recta rr.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dados los puntos A=(2,1,−2)A = (2, 1, -2) y B=(3,2,3)B = (3, 2, 3), y el plano π\pi definido por 2x+2y+z=32x + 2y + z = 3, obtener:
a
El punto de corte PP entre el plano π\pi y la recta perpendicular a π\pi que pasa por AA.5 pts
b
El área del triángulo cuyos vértices son PP, AA y BB.5 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
a
Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida:∫18x2−5x−14 dx\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14} \, dx5 pts
b
Determinar, en función de tt, el valor ∫8t18x2−5x−14 dx\int_{8}^{t} \frac{18}{x^2 - 5x - 14} \, dx.2 pts
c
Determinar el valor de tt mayor que 8 para que ∫8t18x2−5x−14 dx\int_{8}^{t} \frac{18}{x^2 - 5x - 14} \, dx sea igual a ln⁡25\ln 25.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Considerar la función f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} para los valores positivos de xx. Por cada punto M=(x,f(x))M = (x, f(x)) de la gráfica de ff se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, MHMH y MKMK. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.
a
Determinar el área del rectángulo en función de xx.3 pts
b
Encontrar el punto MM que proporciona mayor área y calcular esta área.7 pts
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