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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2021

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: ÁLGEBRA
Dada la matriz A=(1n1m11112)A = \begin{pmatrix} 1 & n & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a)0,75 pts
Obtener los valores de los parámetros mm y nn para que la matriz AA coincida con su traspuesta, y no tenga inversa.
b)0,75 pts
Para m=0m = 0 y n=3n = 3, obtener, si se puede, la matriz inversa.
c)1 pts
Para m=0m = 0 y n=3n = 3, resolver la ecuación matricial: X⋅A+2I3=A2X \cdot A + 2I_3 = A^2
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: ÁLGEBRA
Una empresa produce dos tipos de camisas con perlas blancas, grises y rosas. Para hacer una camisa del tipo A hacen falta 20 perlas blancas, 20 grises y 30 rosas, mientras que para una camisa del tipo B se necesitan 10 perlas blancas, 20 grises y 60 rosas. La empresa dispone de un máximo de 900 perlas blancas y 1400 grises, y decide utilizar al menos 1800 perlas rosas. Se sabe que el beneficio que se obtiene por cada camisa del tipo A es de 60 euros, y por cada camisa del tipo B de 50 euros.
a)2 pts
Calcula cuántas unidades de cada tipo de camisa debe producir para obtener el máximo beneficio, así como el valor de dicho beneficio.
b)0,5 pts
¿Es posible que la empresa fabrique 40 camisas del tipo A y 20 camisas del tipo B? Razona la respuesta.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: ANÁLISIS
Sea la función: f(x)={x3+3x2si x<1ax+2xsi x≥1f(x) = \begin{cases} x^3 + 3x^2 & \text{si } x < 1 \\ ax + \frac{2}{x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a)0,5 pts
Determina el valor del parámetro aa para que la función f(x)f(x) sea continua en el punto x=1x = 1.
b)0,4 pts
En el caso a=12a = \frac{1}{2}, determina la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa x=2x = 2.
c)1 pts
En el caso a=2a = 2, realiza la representación gráfica de la función; para ello, calcula los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión cuando x<1x < 1.
d)0,6 pts
Calcula: ∫(x3+3x2+2x−4x2)dx\int \left(x^3 + 3x^2 + \frac{2}{x} - \frac{4}{x^2}\right) dx
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: ANÁLISIS
Se considera la función f(x)=ax3+bx+11f(x) = ax^3 + bx + 11
a)1 pts
Calcula el valor de los parámetros aa y bb para que la función f(x)f(x) tenga un extremo relativo en el punto (2,5)(2, 5).
b)0,75 pts
En el caso a=38a = \frac{3}{8} y b=−92b = -\frac{9}{2}, estudia los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función.
c)0,75 pts
En el caso a=38a = \frac{3}{8} y b=−92b = -\frac{9}{2}, representa y calcula el área de la región limitada por la función, el eje de abscisas OX y las rectas x=−2x = -2 y x=2x = 2.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: PROBABILIDAD
Dos cajas, A y B, contienen bolas de colores con la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas B: 4 blancas y 6 negras Por otro lado, tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado, y sacamos una bola al azar de la caja que indica el dado.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca?
b)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?
c)1 pts
La bola extraída ha resultado ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la caja B?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: PROBABILIDAD
Sean A,B,C,D,EA, B, C, D, E y FF sucesos de un determinado experimento aleatorio.
a)0,75 pts
Sabemos que P(A)=0,5P(A) = 0{,}5; P(A∪B)=0,7P(A \cup B) = 0{,}7 y P(A∩B)=0,4P(A \cap B) = 0{,}4. Halla la probabilidad de que ocurra BB.
b)1 pts
Sabemos que P(C)=0,4P(C) = 0{,}4; P(D)=0,3P(D) = 0{,}3 y P(C∪D)=0,5P(C \cup D) = 0{,}5. Halla la probabilidad de que ocurra CC sabiendo que no ocurre DD.
c)0,75 pts
Sabemos que P(E)=0,6P(E) = 0{,}6; P(F)=0,8P(F) = 0{,}8, y que los sucesos EE y FF son independientes. Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA
En un test de empatía el 40%40\% de la población examinada obtuvo un resultado inferior a 4 puntos. Sabemos que el resultado del test sigue una distribución normal de media 4,8 puntos.
a)0,75 pts
Calcula la desviación típica de la distribución.
b)0,75 pts
Si la desviación típica es 3,14 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 35%35\% de la población?
c)1 pts
Si la desviación típica es 3,14 puntos, ¿qué porcentaje de la población tiene un resultado que se diferencia de la media en menos de 2 puntos?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
BLOQUE: INFERENCIA ESTADÍSTICA
El gasto que realizan los jóvenes de una determinada ciudad durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica 6 euros.
a)1,5 pts
Se toma una muestra aleatoria simple, y se obtiene que el intervalo de confianza para la media es (24,47,26,43)(24{,}47, 26{,}43) con un nivel de confianza del 95%95\%. Calcula el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b)1 pts
Se ha seleccionado otra muestra de tamaño 49 para estimar μ\mu. Calcula el error máximo admisible cometido para dicha estimación con un nivel de confianza del 97%97\%.
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