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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2010OrdinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Entre todos los triángulos rectángulos de 55 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:(−2,+∞)→Rf: (-2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2). Halla una primitiva FF de ff que verifique F(0)=0F(0) = 0. (ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema{3x−2y+z=52x−3y+z=−4\begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ 2x - 3y + z = -4 \end{cases}
a
Calcula razonadamente un valor de λ\lambda para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x+y+λz=9x + y + \lambda z = 9 sea compatible indeterminado.1,5 pts
b
¿Existe algún valor de λ\lambda para el cual el sistema resultante no tiene solución?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(−1,2,4)B(-1, 2, 4) y la recta rr definida porx+22=y−1=z−13\frac{x + 2}{2} = y - 1 = \frac{z - 1}{3}
a
Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de AA y de BB.1,5 pts
b
Halla la ecuación del plano paralelo a rr y que contiene los puntos AA y BB.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} la función definida por f(x)=ln⁡(x2+3x)f(x) = \ln(x^2 + 3x), donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.
a
Determina, si existen, los puntos de la gráfica de ff en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x−2y+1=0x - 2y + 1 = 0.1,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=3x = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el valor de a>0a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y=x2+axy = x^2 + ax y la recta y+x=0y + x = 0 vale 3636 unidades cuadradas.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matricesA=(123α1302α)yB=(−234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \alpha & 1 & 3 \\ 0 & 2 & \alpha \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de α\alpha para los que AA tiene inversa.0,5 pts
b
Calcula la inversa de AA para α=1\alpha = 1.1,25 pts
c
Resuelve, para α=1\alpha = 1, el sistema de ecuaciones AX=BAX = B.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(0,−2,2)B(0, -2, 2), C(−1,0,2)C(-1, 0, 2) y D(2,−1,2)D(2, -1, 2).
a
Calcula el volumen del tetraedro de vértices AA, BB, CC y DD.1 pt
b
Determina la ecuación de la recta que pasa por DD y es perpendicular al plano que contiene a los puntos AA, BB y CC.1,5 pts
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