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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2021

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Tres amigas, Sara, Cristina y Jimena, tienen un total de 15000 seguidores en una red social. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores todavía tendría el triple de seguidores que Sara. Además, la mitad de los seguidores de Sara más la quinta parte de los de Cristina suponen la cuarta parte de los seguidores de Jimena. Calcule cuántos seguidores tiene cada una de las tres amigas.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a)0,75 pts
Encuentre un único sistema de dos ecuaciones lineales en las variables xx e yy, que tenga como soluciones {x=1,y=2}\{x = 1, y = 2\} y {x=0,y=0}\{x = 0, y = 0\}.
b)1 pts
Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables xx, yy y zz cuyas soluciones sean, en función del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R}: {x=λy=λ−2z=λ−1\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda - 2 \\ z = \lambda - 1 \end{cases}
c)0,75 pts
Encuentre un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, xx e yy, que solo tenga como solución a x=1x = 1 e y=2y = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Calcule, en caso de existir, el valor de los siguientes límites:
a.1)0,5 pts
lim⁡x→0x2(1−2x)x−2x2−sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - 2x)}{x - 2x^2 - \operatorname{sen} x}
a.2)0,75 pts
lim⁡x→∞1x(3x−2sen⁡1x)\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \left( \frac{3}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen} \frac{1}{x}} \right) (Indicación: use el cambio de variable t=1/xt = 1/x donde sea necesario).
b)1,25 pts
Calcule las siguientes integrales:
b.1)0,5 pts
∫xx2−1dx\int \frac{x}{x^2 - 1} dx
b.2)0,75 pts
∫01x2e−xdx\int_{0}^{1} x^2 e^{-x} dx
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x3−∣x∣+2f(x) = x^3 - |x| + 2
a)0,75 pts
Estudie la continuidad y la derivabilidad de ff en x=0x = 0.
b)1 pts
Determine los extremos relativos de f(x)f(x) en la recta real.
c)0,75 pts
Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y=0y = 0, y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dado el punto A(1,0,−1)A(1, 0, -1), la recta r≡x−1=y+1=z−22r \equiv x - 1 = y + 1 = \frac{z - 2}{2} y el plano π≡x+y−z=6\pi \equiv x + y - z = 6, se pide:
a)0,75 pts
Hallar el ángulo que forman el plano π\pi y el plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto AA.
b)0,75 pts
Determinar la distancia entre la recta rr y el plano π\pi.
c)1 pts
Calcular una ecuación de la recta que pasa por AA, forma un ángulo recto con la recta rr y no corta al plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡x−21=y+11=z+4−3,s≡{x+z=2−2x+y−2z=1r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 4}{-3}, \qquad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ -2x + y - 2z = 1 \end{cases}
a)1,5 pts
Escriba una ecuación de la recta perpendicular común a rr y a ss.
b)1 pts
Calcule la distancia entre rr y ss.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
En una urna hay dos bolas blancas y cuatro bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si la bola extraída es blanca, se devuelve a la urna y se añade otra bola blanca; si es negra, no se devuelve a la urna. A continuación, se vuelve a extraer una bola al azar de la urna.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color?
b)1,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra, sabiendo que la segunda ha sido blanca?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Según las estadísticas meteorológicas, en una ciudad nórdica llueve un promedio del 45 % de los días. Un climatólogo analiza los registros pluviométricos de 100 días elegidos al azar entre los de los últimos 50 años.
a)1 pts
Exprese cómo calcular con exactitud la probabilidad de que en 40 de ellos haya llovido.
b)1,5 pts
Calcule dicha probabilidad aproximándola mediante una normal.
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