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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(−213−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}
a
Compruebe que la matriz A es regular (o invertible) y calcule su inversa.1 pt
b
Determine la matriz X que cumple la ecuación AX=A+ATAX = A + A^T, donde ATA^T es la matriz traspuesta de A.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x2+2−x2−2)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2} - \sqrt{x^2 - 2}).1 pt
b
lim⁡x→0ln⁡(cos⁡x+sec⁡x)x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + \sec x)}{x}1 pt
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫sen⁡xecos⁡xdx\int \sen x e^{\cos x} dx.1 pt
b
Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=π/2x = \pi / 2, y la gráfica de la función f(x)=sen⁡xecos⁡xf(x) = \sen x e^{\cos x}.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere las rectas r y s dadas por la siguientes ecuaciones:r:{2x−y+3z=3x+3y+5z=1ys:x−52=y1=z−1 r: \begin{cases} 2x - y + 3z = 3 \\ x + 3y + 5z = 1 \end{cases} \quad y \quad s: \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}
a
Compruebe que ambas rectas son paralelas.1,25 pts
b
Determine la ecuación (en cualquiera de sus formas) del plano que contiene a ambas rectas.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
En una clase hay 40 estudiantes, de los cuales 25 son chicas y el resto son chicos. Además, 30 estudiantes han aprobado las matemáticas, de los cuales 10 son chicos.
a
Elegido un estudiante al azar, se pide:1 pt
a.1
¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado las matemáticas?0,5 pts
a.2
¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y haya aprobado las matemáticas?0,5 pts
b
Si se elige un estudiante que ha aprobado las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo en función del parámetro a:{ax+y+az=0x+y+az=02x+(a−1)y+az=0 \begin{cases} ax + y + az = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + (a - 1)y + az = 0 \end{cases}
a
Determine los valores del parámetro a para los que el sistema tiene únicamente la solución trivial (0, 0, 0).1,25 pts
b
Si es posible, resuélvalo para el valor del parámetro a=2a = 2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considere la función f(x)=x18−x2f(x) = x \sqrt{18 - x^2} con −4<x<4-4 < x < 4.
a
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine sus puntos críticos.1 pt
b
Justifique si la función f(x)f(x) tiene algún máximo o mínimo.1 pt
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xln⁡xdx\int x \ln x dx.1 pt
b
Determine la primitiva de la función f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x que pasa por el punto de coordenadas (1,0).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere los puntos P=(1,1,3)P = (1,1,3) y Q=(1,5,0)Q = (1,5,0) y la recta r dada por la ecuación:r:{2x−y−2z=−3−x+y=4 r: \begin{cases} 2x - y - 2z = -3 \\ -x + y = 4 \end{cases}
a
Compruebe que el punto P no está en la recta r y que el punto Q sí lo está.0,5 pts
b
Determine el punto R de la recta r tal que el triángulo PQR sea un triángulo rectángulo en P (es decir, con ángulo recto en el vértice P).1,25 pts
c
Calcule el área de dicho triángulo PQR.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
Realizada una encuesta entre los habitantes de una ciudad, se ha llegado a la conclusión de que el 40% de sus habitantes lee habitualmente el periódico local, el 30% lee revistas del corazón y el 20% lee ambos tipos de publicaciones. Elegido un habitante al azar, se pide:
a
¿Cuál es la probabilidad de que lea al menos alguno de los dos tipos de publicaciones?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los dos tipos de publicaciones?0,5 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que lea solo revistas del corazón?0,5 pts
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