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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2018

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considere la matriz A=(−213−2)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}
a)1 pts
Compruebe que la matriz A es regular (o invertible) y calcule su inversa.
b)1,5 pts
Determine la matriz X que cumple la ecuación AX=A+ATAX = A + A^T, donde ATA^T es la matriz traspuesta de A.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo en función del parámetro a: {ax+y+az=0x+y+az=02x+(a−1)y+az=0 \begin{cases} ax + y + az = 0 \\ x + y + az = 0 \\ 2x + (a - 1)y + az = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Determine los valores del parámetro a para los que el sistema tiene únicamente la solución trivial (0, 0, 0).
b)1,25 pts
Si es posible, resuélvalo para el valor del parámetro a=2a = 2.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a)1 pts
lim⁡x→+∞(x2+2−x2−2)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2} - \sqrt{x^2 - 2}).
b)1 pts
lim⁡x→0ln⁡(cos⁡x+sec⁡x)x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x + \sec x)}{x}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Considere la función f(x)=x18−x2f(x) = x \sqrt{18 - x^2} con −4<x<4-4 < x < 4.
a)1 pts
Calcule la derivada de f(x)f(x) y determine sus puntos críticos.
b)1 pts
Justifique si la función f(x)f(x) tiene algún máximo o mínimo.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
a)1 pts
Calcule la siguiente integral indefinida ∫sen⁡xecos⁡xdx\int \sen x e^{\cos x} dx.
b)0,5 pts
Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=π/2x = \pi / 2, y la gráfica de la función f(x)=sen⁡xecos⁡xf(x) = \sen x e^{\cos x}.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
a)1 pts
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xln⁡xdx\int x \ln x dx.
b)0,5 pts
Determine la primitiva de la función f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x que pasa por el punto de coordenadas (1,0).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Considere las rectas r y s dadas por la siguientes ecuaciones: r:{2x−y+3z=3x+3y+5z=1ys:x−52=y1=z−1 r: \begin{cases} 2x - y + 3z = 3 \\ x + 3y + 5z = 1 \end{cases} \quad y \quad s: \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}
a)1,25 pts
Compruebe que ambas rectas son paralelas.
b)1,25 pts
Determine la ecuación (en cualquiera de sus formas) del plano que contiene a ambas rectas.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Considere los puntos P=(1,1,3)P = (1,1,3) y Q=(1,5,0)Q = (1,5,0) y la recta r dada por la ecuación: r:{2x−y−2z=−3−x+y=4 r: \begin{cases} 2x - y - 2z = -3 \\ -x + y = 4 \end{cases}
a)0,5 pts
Compruebe que el punto P no está en la recta r y que el punto Q sí lo está.
b)1,25 pts
Determine el punto R de la recta r tal que el triángulo PQR sea un triángulo rectángulo en P (es decir, con ángulo recto en el vértice P).
c)0,75 pts
Calcule el área de dicho triángulo PQR.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
En una clase hay 40 estudiantes, de los cuales 25 son chicas y el resto son chicos. Además, 30 estudiantes han aprobado las matemáticas, de los cuales 10 son chicos.
a)1 pts
Elegido un estudiante al azar, se pide:
a.1)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado las matemáticas?
a.2)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y haya aprobado las matemáticas?
b)0,5 pts
Si se elige un estudiante que ha aprobado las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
Realizada una encuesta entre los habitantes de una ciudad, se ha llegado a la conclusión de que el 40% de sus habitantes lee habitualmente el periódico local, el 30% lee revistas del corazón y el 20% lee ambos tipos de publicaciones. Elegido un habitante al azar, se pide:
a)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que lea al menos alguno de los dos tipos de publicaciones?
b)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los dos tipos de publicaciones?
c)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que lea solo revistas del corazón?
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