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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2019

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las características siguientes: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, almacenamiento de datos alfanuméricos, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales o resolución de ecuaciones. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se consideran las siguientes matricesA=(k12143007),B=(101010403)yC=(110−110)A = \begin{pmatrix} k & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix} \qquad y \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
a
Obténgase el valor de la constante kk para que el determinante de la matriz A−2BA - 2B sea nulo.1 pt
b
Determínese si las matrices CC y (Ct⋅C)(C^t \cdot C), donde CtC^t denota la matriz traspuesta de CC, son invertibles. En caso afirmativo, calcúlense las inversas.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una voluntaria quiere preparar helado artesano y horchata de auténtica chufa para un rastrillo solidario. La elaboración de cada litro de helado lleva 1 hora de trabajo y la elaboración de un litro de horchata 2 horas. Como la horchata no necesita leche, sabe que puede preparar hasta 15 litros de helado con la leche que tiene. Para que haya suficiente para todos los asistentes, tiene que preparar al menos 10 litros entre helado y horchata, en un máximo de 20 horas.
a
Represéntese la región del plano determinada por las restricciones anteriores.1 pt
b
Si el beneficio por litro es de 25 euros para el helado y 12 euros para la horchata, obténgase la cantidad de cada producto que se deberá preparar para maximizar el beneficio y calcúlese el beneficio máximo que podría obtenerse.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
La derivada de una función real de variable real, f(x)f(x), viene dada por la expresión:f′(x)=2x2−4x−6f'(x) = 2x^2 - 4x - 6
a
Obténgase la expresión de la función f(x)f(x) sabiendo que pasa por el punto (0,3)(0, 3).1 pt
b
Determínense los extremos relativos de la función f(x)f(x) indicando si corresponden a máximos o mínimos relativos y estúdiese la concavidad y convexidad de esta función.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6, P(B)=0,8P(B) = 0{,}8 y P(A∩Bˉ)=0,1P(A \cap \bar{B}) = 0{,}1.
a
Calcúlese la probabilidad de que ocurra el suceso AA si no ha ocurrido el suceso BB y determínese si los sucesos AA y BB son independientes. Bˉ\bar{B} denota el complementario del suceso BB.1 pt
b
Obténgase la probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos, AA o BB.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El precio mensual de las clases de Pilates en una región se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu euros y varianza 4949 euros2^2.
a
Seleccionada una muestra aleatoria simple de 64 centros en los que se imparte este tipo de clases, el precio medio mensual observado fue de 34 euros. Obténgase un intervalo de confianza al 99,2%99{,}2\% para estimar el precio medio mensual, μ\mu, de las clases de Pilates.1 pt
b
Determínese el tamaño muestral mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea como mucho de 3 euros, con una confianza del 95%95\%.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real mm:{−x+y+z=0x+my−z=0x−y−mz=0\begin{cases} -x + y + z = 0 \\ x + my - z = 0 \\ x - y - mz = 0 \end{cases}
a
Determínense los valores del parámetro real mm para que el sistema tenga soluciones diferentes a la solución trivial x=y=z=0x = y = z = 0.1 pt
b
Resuélvase el sistema para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)=8x2+4f(x) = \frac{8}{x^2 + 4}
a
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y obténganse sus asíntotas verticales y horizontales, si las tuviese.1 pt
b
Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
La función real de variable real, f(x)f(x), se define según la siguiente expresión:f(x)={ex+ksi x≤01−x2si 0<x≤31x−3si x>3f(x) = \begin{cases} e^x + k & \text{si } x \leq 0 \\ 1 - x^2 & \text{si } 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{x - 3} & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Analícese la continuidad de la función en todo su dominio según los valores de kk.1 pt
b
Considerando k=0k = 0, obténgase el área del recinto acotado delimitado por la función f(x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
De un estudio realizado en una región, se deduce que la probabilidad de que un niño de primaria juegue con consolas de videojuegos más tiempo del recomendado por los especialistas es 0,600{,}60. Entre estos niños, la probabilidad de fracaso escolar se eleva a 0,300{,}30 mientras que, si no juegan más tiempo del recomendado, la probabilidad de fracaso escolar es 0,150{,}15. Seleccionado un niño al azar de esta región,
a
Obténgase la probabilidad de que tenga fracaso escolar.1 pt
b
Si tiene fracaso escolar, determínese cuál es la probabilidad de que no juegue con estas consolas más tiempo del recomendado.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El peso de las mochilas escolares de los niños de 5∘5^{\circ} y 6∘6^{\circ} de primaria, medido en kilogramos, puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu kilogramos y desviación típica σ=1,5\sigma = 1{,}5 kilogramos.
a
En un estudio se tomó una muestra aleatoria simple de dichas mochilas escolares y se estimó el peso medio utilizando un intervalo de confianza del 95%95\%. La amplitud de este intervalo resultó ser 0,490{,}49 kilogramos. Obténgase el número de mochilas seleccionadas en la muestra.1 pt
b
Supóngase que μ=6\mu = 6 kilogramos. Seleccionada una muestra aleatoria simple de 225 mochilas escolares, calcúlese la probabilidad de que el peso medio muestral supere los 5,755{,}75 kilogramos, que es la cantidad máxima recomendada para los escolares de estos cursos.1 pt
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