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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2013

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considera las matrices M=(2ab13−2b−2c5a−2c)M = \begin{pmatrix} 2a & b & 1 \\ 3 & -2b & -2c \\ 5a & -2 & c \end{pmatrix} y N=(3ca−4b)N = \begin{pmatrix} 3c \\ a \\ -4b \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Determina los valores de a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} para los que se cumple M⋅(123)=NM \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = N.
b)1,25 pts
Estudia el carácter del sistema de ecuaciones lineales M⋅(xyz)=NM \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = N cuando a=0,b=−1a = 0, b = -1 y c=2c = 2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,25 puntos
Las edades de Juan, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: la suma de las edades de Juan, su padre y el doble de la del abuelo es 182 años; el doble de la edad de Juan más la del abuelo es 100 años, y la de su padre es kk veces la de Juan.
a)1 pts
Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar las edades de Juan, su padre y su abuelo.
b)1 pts
Estudia para qué valores del parámetro kk el sistema tiene solución. ¿Es posible que la edad del padre de Juan sea el triple que la de Juan?
c)1,25 pts
Calcula, si es posible, las edades de cada uno para k=2k = 2 y k=4k = 4.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Considera la función f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1−3xx2−4f(x) = 1 - \frac{3x}{x^2 - 4}.
a)1,25 pts
Determina el dominio de definición de la función ff. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de ff.
b)1 pts
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.
c)1,25 pts
Halla los puntos de inflexión de ff. Esboza la gráfica de la función ff.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Considera la función f(x)={sen⁡(x2)xsi x>0x2−2x+asi x≤0f(x) = \begin{cases} \frac{\sen(x^2)}{x} & \text{si } x > 0 \\ x^2 - 2x + a & \text{si } x \leq 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Calcula el valor de aa para que la función ff sea continua en todo R\mathbb{R}.
b)1 pts
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.
c)1 pts
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales x=−1x = -1 y x=0x = 0.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3,25 puntos
a)1,75 pts
Dados los vectores u⃗=(a,b,1)\vec{u} = (a, b, 1), v⃗=(−3,4,1)\vec{v} = (-3, 4, 1) y w⃗=(1,2,c)\vec{w} = (1, 2, c), determina el valor de los parámetros a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} de manera que los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean perpendiculares y además u⃗×w⃗=v⃗\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}, donde u⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{w} denota el producto vectorial.
b)1,5 pts
Sea rr la recta que pasa por el punto P=(1,−1,1)P = (1, -1, 1) y tiene como vector director v⃗r=(1,2,−2)\vec{v}_r = (1, 2, -2). ¿Existe algún valor de kk para el cuál la recta rr está contenida en el plano π≡2x+3y+4z=k\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k? En caso afirmativo, calcula el valor de kk.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3,25 puntos
Considera las rectas r1≡{x−mz=12x+y=2r_1 \equiv \begin{cases} x - mz = 1 \\ 2x + y = 2 \end{cases} y r2≡{x=1−sy=1+2sz=−s(s∈R)r_2 \equiv \begin{cases} x = 1 - s \\ y = 1 + 2s \\ z = -s \end{cases} (s \in \mathbb{R}).
a)1 pts
Determina el valor del parámetro mm para que las rectas r1r_1 y r2r_2 sean paralelas.
b)1,25 pts
Calcula la distancia del punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) a la recta r2r_2.
c)1 pts
Halla la ecuación general del plano π\pi que es perpendicular a la recta r2r_2 y pasa por el punto Q=(1,0,−3)Q = (1, 0, -3).
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