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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2013

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera las matrices M=(2ab13−2b−2c5a−2c)M = \begin{pmatrix} 2a & b & 1 \\ 3 & -2b & -2c \\ 5a & -2 & c \end{pmatrix} y N=(3ca−4b)N = \begin{pmatrix} 3c \\ a \\ -4b \end{pmatrix}.
a
Determina los valores de a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} para los que se cumple M⋅(123)=NM \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = N.1,25 pts
b
Estudia el carácter del sistema de ecuaciones lineales M⋅(xyz)=NM \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = N cuando a=0,b=−1a = 0, b = -1 y c=2c = 2.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1−3xx2−4f(x) = 1 - \frac{3x}{x^2 - 4}.
a
Determina el dominio de definición de la función ff. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de ff.1,25 pts
b
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1 pt
c
Halla los puntos de inflexión de ff. Esboza la gráfica de la función ff.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
a
Dados los vectores u⃗=(a,b,1)\vec{u} = (a, b, 1), v⃗=(−3,4,1)\vec{v} = (-3, 4, 1) y w⃗=(1,2,c)\vec{w} = (1, 2, c), determina el valor de los parámetros a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} de manera que los vectores v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} sean perpendiculares y además u⃗×w⃗=v⃗\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}, donde u⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{w} denota el producto vectorial.1,75 pts
b
Sea rr la recta que pasa por el punto P=(1,−1,1)P = (1, -1, 1) y tiene como vector director v⃗r=(1,2,−2)\vec{v}_r = (1, 2, -2). ¿Existe algún valor de kk para el cuál la recta rr está contenida en el plano π≡2x+3y+4z=k\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k? En caso afirmativo, calcula el valor de kk.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Las edades de Juan, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: la suma de las edades de Juan, su padre y el doble de la del abuelo es 182 años; el doble de la edad de Juan más la del abuelo es 100 años, y la de su padre es kk veces la de Juan.
a
Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar las edades de Juan, su padre y su abuelo.1 pt
b
Estudia para qué valores del parámetro kk el sistema tiene solución. ¿Es posible que la edad del padre de Juan sea el triple que la de Juan?1 pt
c
Calcula, si es posible, las edades de cada uno para k=2k = 2 y k=4k = 4.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
Considera la función f(x)={sen⁡(x2)xsi x>0x2−2x+asi x≤0f(x) = \begin{cases} \frac{\sen(x^2)}{x} & \text{si } x > 0 \\ x^2 - 2x + a & \text{si } x \leq 0 \end{cases}
a
Calcula el valor de aa para que la función ff sea continua en todo R\mathbb{R}.1,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.1 pt
c
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función ff, el eje de abscisas (y=0y = 0) y las rectas verticales x=−1x = -1 y x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera las rectas r1≡{x−mz=12x+y=2r_1 \equiv \begin{cases} x - mz = 1 \\ 2x + y = 2 \end{cases} y r2≡{x=1−sy=1+2sz=−s(s∈R)r_2 \equiv \begin{cases} x = 1 - s \\ y = 1 + 2s \\ z = -s \end{cases} (s \in \mathbb{R}).
a
Determina el valor del parámetro mm para que las rectas r1r_1 y r2r_2 sean paralelas.1 pt
b
Calcula la distancia del punto P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) a la recta r2r_2.1,25 pts
c
Halla la ecuación general del plano π\pi que es perpendicular a la recta r2r_2 y pasa por el punto Q=(1,0,−3)Q = (1, 0, -3).1 pt
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