Matemáticas II · Extremadura 2013

Estudie para cuáles valores del parámetro $m$ es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} (1 - 2m)x + y + z = -1 \\ (m - 1)x + y + z = 2 \\ m^2 x + y + z = 3 \end{cases}$$

Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para $m = 0$.

Defina a trozos la función $f(x) = 2 - x \cdot |x|$ y represéntela gráficamente.

Estudie la derivabilidad de $f(x)$ en toda la recta real.

Calcule la función derivada $f'(x)$ para los valores de $x$ que exista.

Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función $$f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)^2}$$

Represente la función $f(x)$ anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado (a).

Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $y = 1 - x^2$, el eje $OX$, la recta $x = 0$ y la recta $x = 2$.

Calcule el área de dicho recinto.