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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2013

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(10−1230011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(3xy−21−22xy)B = \begin{pmatrix} 3 & x & y \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & x & y \end{pmatrix}, estudie si existen números reales xx e yy tales que la matriz BB es la inversa de la matriz AA.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3, calcule la distancia del punto P=(1,−1,2)P = (1, -1, 2) a la recta rr que pasa por los puntos A=(0,−1,1)A = (0, -1, 1) y B=(1,0,1)B = (1, 0, 1).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Defina a trozos la función f(x)=2−x⋅∣x∣f(x) = 2 - x \cdot |x| y represéntela gráficamente.1 pt
b
Estudie la derivabilidad de f(x)f(x) en toda la recta real.1 pt
c
Calcule la función derivada f′(x)f'(x) para los valores de xx que exista.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule el valor de la integral definida∫01(2xx2+1+(2x−1)ex2−x+2πsen⁡(2πx))dx\int_{0}^{1} \left(\frac{2x}{x^2 + 1} + (2x - 1) e^{x^2 - x} + 2\pi \sen(2\pi x)\right) dx
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudie para cuáles valores del parámetro mm es compatible determinado el siguiente sistema de ecuaciones:{(1−2m)x+y+z=−1(m−1)x+y+z=2m2x+y+z=3\begin{cases} (1 - 2m)x + y + z = -1 \\ (m - 1)x + y + z = 2 \\ m^2 x + y + z = 3 \end{cases}1,25 pts
b
Resuelva el anterior sistema de ecuaciones para m=0m = 0.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Fijados los puntos A=(1,1,0)A = (1, 1, 0) y B=(1,0,1)B = (1, 0, 1), calcule todos los puntos de la forma X=(0,λ,μ)X = (0, \lambda, \mu) para los que el triángulo ABXABX es equilátero.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la funciónf(x)=x3(x−1)2f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)^2}1,75 pts
b
Represente la función f(x)f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado (a).0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=1−x2y = 1 - x^2, el eje OXOX, la recta x=0x = 0 y la recta x=2x = 2.1 pt
b
Calcule el área de dicho recinto.1,5 pts
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