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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2018

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cinco ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada uno de los ejercicios se puntuará sobre un máximo de 2 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Tres números x,y,zx, y, z cumplen lo siguiente: • El primero de ellos, xx, es la suma de los otros dos. • El segundo, yy, es la mitad del primero más el triple del tercero.
a
Demostrar que hay infinitos números que cumplen estas condiciones, encontrando una expresión general de la solución.1,5 pts
b
Encontrar tres números concretos que cumplan estas condiciones.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados el plano π≡2x+y+z−3=0\pi \equiv 2x + y + z - 3 = 0 y la recta r≡{x+y+z=0x−y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}
a
Calcular el punto de intersección del plano π\pi y de la recta rr.1 pt
b
Encontrar la ecuación de la recta ss contenida en el plano π\pi y que corta perpendicularmente a rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea la función f(x)=1x+ax+bf(x) = \frac{1}{x} + ax + b
a
Encontrar aa y bb para que la función tenga un mínimo relativo en el punto (12,6)\left( \frac{1}{2}, 6 \right).1 pt
b
Suponiendo que a=4a = 4 y b=2b = 2, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la función f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x
a
Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función f(x)f(x) en los puntos x=0x = 0 y x=πx = \pi. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes.1 pt
b
Hallar el área comprendida entre la gráfica de f(x)f(x) y las rectas de ecuaciones: y=xy = x e y=−x+πy = -x + \pi.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Se lanzan tres monedas al aire:
a
Halla el espacio muestral.1 pt
b
Halla la probabilidad de: i) Obtener más caras que cruces. ii) Obtener las mismas caras que cruces.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dadas las matrices: A=(10101010k)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix} y B=(100012112)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Discutir, según los valores de kk, cuándo AA tiene inversa y calcularla para k=2k = 2.1 pt
b
Para k=2k = 2, resolver la siguiente ecuación matricial: AX+B=ABAX + B = AB.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados el plano π≡ax+y−z+b=0\pi \equiv ax + y - z + b = 0 y la recta r≡x−11=y−2−1=z−31r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}.
a
Encontrar aa y bb para que la recta esté contenida en el plano.1 pt
b
¿Existen valores aa y bb para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm40\,\text{cm}, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcular lim⁡x→+∞3ex−sen⁡xex+x\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \sen x}{e^x + x}.1 pt
b
Encontrar el área del recinto limitado por las funciones f(x)=∣x∣−1f(x) = |x| - 1 y g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El diámetro del interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm10\,\text{cm} y una desviación típica de 0,030{,}03.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a
¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,07510{,}075?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,979{,}97 y 10,0310{,}03?1 pt
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