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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2018

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Tres números x,y,zx, y, z cumplen lo siguiente: • El primero de ellos, xx, es la suma de los otros dos. • El segundo, yy, es la mitad del primero más el triple del tercero.
a)1,5 pts
Demostrar que hay infinitos números que cumplen estas condiciones, encontrando una expresión general de la solución.
b)0,5 pts
Encontrar tres números concretos que cumplan estas condiciones.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Dadas las matrices: A=(10101010k)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & k \end{pmatrix} y B=(100012112)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
a)1 pts
Discutir, según los valores de kk, cuándo AA tiene inversa y calcularla para k=2k = 2.
b)1 pts
Para k=2k = 2, resolver la siguiente ecuación matricial: AX+B=ABAX + B = AB.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Dados el plano π≡2x+y+z−3=0\pi \equiv 2x + y + z - 3 = 0 y la recta r≡{x+y+z=0x−y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}
a)1 pts
Calcular el punto de intersección del plano π\pi y de la recta rr.
b)1 pts
Encontrar la ecuación de la recta ss contenida en el plano π\pi y que corta perpendicularmente a rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Dados el plano π≡ax+y−z+b=0\pi \equiv ax + y - z + b = 0 y la recta r≡x−11=y−2−1=z−31r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}.
a)1 pts
Encontrar aa y bb para que la recta esté contenida en el plano.
b)1 pts
¿Existen valores aa y bb para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=1x+ax+bf(x) = \frac{1}{x} + ax + b
a)1 pts
Encontrar aa y bb para que la función tenga un mínimo relativo en el punto (12,6)\left( \frac{1}{2}, 6 \right).
b)1 pts
Suponiendo que a=4a = 4 y b=2b = 2, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm40\,\text{cm}, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x
a)1 pts
Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función f(x)f(x) en los puntos x=0x = 0 y x=πx = \pi. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes.
b)1 pts
Hallar el área comprendida entre la gráfica de f(x)f(x) y las rectas de ecuaciones: y=xy = x e y=−x+πy = -x + \pi.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→+∞3ex−sen⁡xex+x\lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - \sen x}{e^x + x}.
b)1 pts
Encontrar el área del recinto limitado por las funciones f(x)=∣x∣−1f(x) = |x| - 1 y g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Se lanzan tres monedas al aire:
a)1 pts
Halla el espacio muestral.
b)1 pts
Halla la probabilidad de: i) Obtener más caras que cruces. ii) Obtener las mismas caras que cruces.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
El diámetro del interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm10\,\text{cm} y una desviación típica de 0,030{,}03.
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
a)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,07510{,}075?
b)1 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,979{,}97 y 10,0310{,}03?
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