Matemáticas II · Andalucía 2019

Se considera la función $f: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}$$

Se sabe que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$$ tiene un punto de inflexión para $x = 1$ y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es $y = -6x + 6$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

Considera las funciones $f, g: [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \cos(x)$ y $g(x) = \operatorname{sen}(x)$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ de la que se sabe que tiene determinante $5$.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P(2, -2, -1)$ con vector director $\vec{v} = (k, 3 + k, -2k)$ y sea $\pi$ el plano de ecuación $-x + 2y + 2z - 1 = 0$.

Considera el punto $P(-5, 3, 1)$ y la recta $r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$.