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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2019ExtraordinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se considera la función f:(−2π,2π)→Rf: (-2\pi, 2\pi) \rightarrow \mathbb{R} definida porf(x)=cos⁡(x)2+cos⁡(x)f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}
a
Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.1,5 pts
b
Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=x4x2−1f(x) = \frac{x^4}{x^2 - 1} para x≠1,−1x \neq 1, -1.
a
Halla todas las funciones primitivas de ff.2 pts
b
Calcula la primitiva que pasa por (2,0)(2, 0).0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera la matriz A=(abcdefghi)A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} de la que se sabe que tiene determinante 55.
a
Calcula, indicando las propiedades que utilices, los determinantes de las matrices siguientes:3Ay(2ad+3ag2be+3bh2cf+3ci)3A \quad \text{y} \quad \begin{pmatrix} 2a & d + 3a & g \\ 2b & e + 3b & h \\ 2c & f + 3c & i \end{pmatrix}1,75 pts
b
Si BB es otra matriz cuadrada de orden 33 y tiene determinante 44, calcula, indicando también las propiedades que utilices, el determinante de la matriz BA−1BA^{-1}.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta que pasa por el punto P(2,−2,−1)P(2, -2, -1) con vector director v⃗=(k,3+k,−2k)\vec{v} = (k, 3 + k, -2k) y sea π\pi el plano de ecuación −x+2y+2z−1=0-x + 2y + 2z - 1 = 0.
a
Calcula el valor de kk para que rr sea paralela a π\pi.0,5 pts
b
Calcula el valor de kk para que rr sea perpendicular a π\pi.0,5 pts
c
Para k=−1k = -1, calcula los puntos de rr que distan 33 unidades de π\pi.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se sabe que la gráfica de la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada porf(x)=2x3+ax2+bx+cf(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + ctiene un punto de inflexión para x=1x = 1 y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es y=−6x+6y = -6x + 6. Calcula aa, bb y cc.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones f,g:[−π,π]→Rf, g: [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x) y g(x)=sen⁡(x)g(x) = \operatorname{sen}(x).
a
Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.1 pt
b
Calcula el área del recinto delimitado por las gráficas de ff y de gg en el intervalo [−3π4,π4][-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}].1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} y X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a
Encuentra los valores de aa para los que el sistema dado por AX=2XAX = 2X tiene infinitas soluciones.1,5 pts
b
Para a=0a = 0, si es posible, resuelve AX=2XAX = 2X.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el punto P(−5,3,1)P(-5, 3, 1) y la recta r≡x2=y−32=z−2−1r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}.
a
Calcula la ecuación general del plano que pasa por PP y contiene a rr.1 pt
b
Calcula la ecuación de la recta que pasa por PP y corta perpendicularmente a rr.1,5 pts
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