Matemáticas IIGaliciaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2025

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo: 1 hora y 30 minutos

El examen consta de 4 preguntas de respuesta obligatoria, puntuadas cada una con 2,5 puntos: la primera sin apartados optativos y las tres siguientes con posibilidad de elección entre apartados. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

2,5 puntos

Bloque obligatorio

CONTEXTO: Las cafeterías universitarias son espacios en los que, además de poder consumir alimentos y bebidas, en numerosas ocasiones se emplean como punto de encuentro para otros eventos. Según los datos recogidos por la dirección de la cafetería de una Facultad, el 65% de sus clientes son estudiantes, el 25% personal de la universidad y el 10% restante son personas ajenas a la universidad. Con el objetivo de estudiar si es necesario realizar modificaciones en la cafetería, sus responsables han analizado datos sobre el tiempo de espera hasta que un cliente ha sido atendido y sobre la forma de realizar los pagos. Puede suponerse que el tiempo de espera hasta que un cliente es atendido sigue una distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos y de tal modo que el 90% de los clientes son atendidos antes de 8 minutos. Por los datos recogidos, han llegado a la conclusión de que el 30% de los estudiantes efectúan los pagos en efectivo, siendo este porcentaje igual al 70% para el personal de la universidad, mientras que el 80% de los pagos realizados por personas ajenas a la universidad se hacen en efectivo.

1.1

¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?

1.2

Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.

1.3

Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?

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2,5 puntos

Bloque con optatividad 1

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

Responda a las dos cuestiones siguientes:2,5 pts

2.1.1

A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

, halle

\alpha, \beta \in \mathbb{R}

tales que

A^2 + \alpha A + \beta I = 0

donde

I

0

son las matrices identidad y cero respectivamente.

2.1.2

Calcule la matriz cuadrada

X

tal que

XA = B

, si

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

. ¿Son iguales

XA

AX

Discuta, según los valores del parámetro

m

, el sistema:

\begin{cases} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases}

2,5 pts

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2,5 puntos

Bloque con optatividad 2

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

Dada la función

f(x) = \begin{cases} kx^2 + 2x & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 - m & \text{si } x > 1 \end{cases}

se pide responder a las siguientes cuestiones:2,5 pts

3.1.1

¿Qué condición deben cumplir

k

m

para que

f

sea continua en

x=1

3.1.2

¿Para qué valores de

k

m

f

derivable en

x=1

Dibuje la región encerrada por la gráfica de

f(x) = \sqrt{2x + 1}

, el eje

X

y las rectas

x = 0

x = 4

. Luego, calcule su área.2,5 pts

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2,5 puntos

Bloque con optatividad 3

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

Determine el valor que debe tomar

k

para que los planos

\pi_1: kx + y + \frac{1}{4}z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0

sean paralelos. Calcule también el valor de

k

que hace que esos mismos planos sean perpendiculares.2,5 pts

Considérense el punto

P(0,1,0)

y la recta

r: (x, y, z) = (2, 0, 3) + \lambda(1, 2, 3), \lambda \in \mathbb{R}

.2,5 pts

4.2.1

Determine la ecuación continua de la recta

s

que es paralela a

r

y pasa por el punto

P

4.2.2

Obtenga la ecuación implícita o general del plano

\pi

que pasa por

P

y es perpendicular a

r

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Instrucciones

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4