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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2025

4 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
BLOQUE OBLIGATORIO
CONTEXTO: Las cafeterías universitarias son espacios en los que, además de poder consumir alimentos y bebidas, en numerosas ocasiones se emplean como punto de encuentro para otros eventos. Según los datos recogidos por la dirección de la cafetería de una Facultad, el 65% de sus clientes son estudiantes, el 25% personal de la universidad y el 10% restante son personas ajenas a la universidad. Con el objetivo de estudiar si es necesario realizar modificaciones en la cafetería, sus responsables han analizado datos sobre el tiempo de espera hasta que un cliente ha sido atendido y sobre la forma de realizar los pagos. Puede suponerse que el tiempo de espera hasta que un cliente es atendido sigue una distribución aproximadamente normal, con media igual a 5 minutos y de tal modo que el 90% de los clientes son atendidos antes de 8 minutos. Por los datos recogidos, han llegado a la conclusión de que el 30% de los estudiantes efectúan los pagos en efectivo, siendo este porcentaje igual al 70% para el personal de la universidad, mientras que el 80% de los pagos realizados por personas ajenas a la universidad se hacen en efectivo.
1.1)
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente sea atendido antes de 4 minutos?
1.2)
Calcular la probabilidad de que un pago en esta cafetería no haya sido realizado en efectivo.
1.3)
Si un pago se hizo en efectivo, ¿qué es más probable, que haya sido realizado por estudiantes o por personal de la universidad?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 1

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1)2,5 pts
Responda a las dos cuestiones siguientes:
2.1.1)
Si A=(252−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, halle α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} tales que A2+αA+βI=0A^2 + \alpha A + \beta I = 0 donde II y 00 son las matrices identidad y cero respectivamente.
2.1.2)
Calcule la matriz cuadrada XX tal que XA=BXA = B, si A=(1011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(2111)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. ¿Son iguales XAXA y AXAX?
2.2)2,5 pts
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema: {x+y+mz=1x+my+z=1mx+y+z=1\begin{cases} x + y + mz = 1 \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 2

Responda uno de estos dos apartados: 3.1. o 3.2.

3.1)2,5 pts
Dada la función f(x)={kx2+2xsi x≤1x2−msi x>1f(x) = \begin{cases} kx^2 + 2x & \text{si } x \leq 1 \\ x^2 - m & \text{si } x > 1 \end{cases} se pide responder a las siguientes cuestiones:
3.1.1)
¿Qué condición deben cumplir kk y mm para que ff sea continua en x=1x=1?
3.1.2)
¿Para qué valores de kk y mm es ff derivable en x=1x=1?
3.2)2,5 pts
Dibuje la región encerrada por la gráfica de f(x)=2x+1f(x) = \sqrt{2x + 1}, el eje XX y las rectas x=0x = 0, x=4x = 4. Luego, calcule su área.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
BLOQUE CON OPTATIVIDAD 3

Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1)2,5 pts
Determine el valor que debe tomar kk para que los planos π1:kx+y+14z+2=0yπ2:3x+4y+z+3=0\pi_1: kx + y + \frac{1}{4}z + 2 = 0 \quad \text{y} \quad \pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0 sean paralelos. Calcule también el valor de kk que hace que esos mismos planos sean perpendiculares.
4.2)2,5 pts
Considérense el punto P(0,1,0)P(0,1,0) y la recta r:(x,y,z)=(2,0,3)+λ(1,2,3),λ∈Rr: (x, y, z) = (2, 0, 3) + \lambda(1, 2, 3), \lambda \in \mathbb{R}.
4.2.1)
Determine la ecuación continua de la recta ss que es paralela a rr y pasa por el punto PP.
4.2.2)
Obtenga la ecuación implícita o general del plano π\pi que pasa por PP y es perpendicular a rr.
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