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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2013

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: {2x+3y+z=12x+2y+z=14x+5y+2z=2\begin{cases} 2x + 3y + z = 1 \\ 2x + 2y + z = 1 \\ 4x + 5y + 2z = 2 \end{cases}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sabiendo que ∣abc603111∣=2,\begin{vmatrix} a & b & c \\ 6 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando.
a)1,25 pts
∣1112013a3b3c∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3a & 3b & 3c \end{vmatrix}
b)1,25 pts
∣abc2a+62b2c+3a+1b+1c+1∣\begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a + 6 & 2b & 2c + 3 \\ a + 1 & b + 1 & c + 1 \end{vmatrix}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(3,4,0)A = (3, 4, 0), B=(2,1,0)B = (2, 1, 0) y C=(5,1,0)C = (5, 1, 0). El cuarto vértice DD está en la recta rr que pasa por los puntos (1,2,3)(1, 2, 3) y (−1,4,5)(-1, 4, 5).
a)0,75 pts
Determine la ecuación de la recta rr.
b)1,75 pts
Calcule las coordenadas del vértice DD para que el volumen del tetraedro sea 66 unidades cúbicas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Determine la ecuación de la recta rr que pasa por los puntos A=(2,3,0)A = (2, 3, 0) y B=(−1,8,1)B = (-1, 8, 1).
b)1,5 pts
Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3)(1, 2, 3) y es perpendicular a la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a)1 pts
lim⁡x→+∞(x2+1x2−1)x2+2\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right)^{x^2 + 2}
b)1,5 pts
lim⁡x→0sen⁡x21−cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\sen x^2}{1 - \cos x}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Descomponga el número 4848 como suma de dos números positivos de tal manera que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea el mayor valor posible.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Encuentre una primitiva de la función f(x)=6x2+2x−8f(x) = \frac{6}{x^2 + 2x - 8}
b)1 pts
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje de abscisas entre x=−2x = -2 y x=0x = 0.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)2 pts
Encuentre una primitiva de la función f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x
b)0,5 pts
Calcule la siguiente integral definida ∫01x2ex dx\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx.
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