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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2020

8 ejercicios

Instrucciones

El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde a más preguntas de las permitidas, solo se corregirán las 5 primeras respondidas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y álgebra
Sean AA y BB las dos matrices que cumplen A+B=(2400)A + B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} y A−B=(0−44−2)A - B = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}. Se pide:
a
Calcular A2−B2A^2 - B^2. (Advertencia: en este caso, A2−B2≠(A+B)(A−B)A^2 - B^2 \neq (A + B)(A - B)).1 pt
b
Calcular la matriz XX que cumple la igualdad XA+(A+B)T=2I+XBXA + (A + B)^T = 2I + XB, siendo II la matriz identidad de orden 2 y (A+B)T(A + B)^T la traspuesta de A+BA + B.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema:{mx+y=2mx+z=0x+my=0\begin{cases} mx + y = 2m \\ x + z = 0 \\ x + my = 0 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
a
Calcule lim⁡x→0cos⁡2x−11+2x−e2x\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{1 + 2x - e^{2x}}.1 pt
b
Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)=x(ln⁡x−1)f(x) = x(\ln x - 1). Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función ff.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
a
Calcule los valores de bb y cc para que la función f(x)={e2xsi x≤0x2+bx+csi x>0f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + c & \text{si } x > 0 \end{cases} sea, primero continua, y luego derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Calcule ∫12x(ln⁡x−1) dx\int_{1}^{2} x(\ln x - 1) \, dx.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
a
Obtenga la ecuación implícita o general del plano que pasa por los puntos A(3,0,−1)A(3, 0, -1), B(4,1,1)B(4, 1, 1) y C(7,1,5)C(7, 1, 5).1 pt
b
Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta rr que es perpendicular al plano π:4x+2y−3z−15=0\pi: 4x + 2y - 3z - 15 = 0 y que pasa por el punto P(−1,−2,2)P(-1, -2, 2).1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
Estudie la posición relativa de las rectas rr y ss definidas por las ecuaciones:r:x−32=y−1=z+1−2s:x1=y+34=z+23r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 1}{-2} \quad s: \frac{x}{1} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{3}Si se cortan, calcule el punto de corte.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estadística y probabilidad
Se seleccionan 250 pacientes para estudiar la eficacia de un nuevo medicamento. A 150 de ellos se les administra el medicamento, mientras que el resto son tratados con un placebo. Sabiendo que se curaron el 80% de los que tomaron el medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que, seleccionado un paciente al azar, tomase el placebo o no se curase?
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estadística y probabilidad
En una cadena de montaje, el tiempo empleado para realizar un determinado trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos y desviación típica 4 minutos. Calcule la probabilidad de que se haga ese trabajo en un tiempo comprendido entre 16 y 26 minutos.
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