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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2013

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1= 3 puntos, ejercicio 2= 3 puntos, ejercicio 3= 2 puntos, ejercicio 4= 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las matrices A=(1−10)A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, B=(111)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, sean BtB^t la matriz traspuesta de BB e II la matriz identidad de orden 3.
a
Estudia, según los valores del parámetro λ\lambda, el rango de ABt+λIAB^t + \lambda I.1,5 pts
b
Calcula la matriz XX que verifica: ABtX−X=2BAB^t X - X = 2B.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados el plano π:x+y−z−1=0\pi: x + y - z - 1 = 0 y la recta r:{3x+y+z−6=02x+y−2=0r: \begin{cases} 3x + y + z - 6 = 0 \\ 2x + y - 2 = 0 \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de rr y π\pi. Calcula la distancia de rr a π\pi.2 pts
b
Calcula la ecuación general o implícita del plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano. ¿Tiene la ecuación x3+2x−2=0x^3 + 2x - 2 = 0 alguna solución en el intervalo (0,1)(0, 1)? ¿Tiene esta ecuación más de una solución real?1 pt
b
Calcula los valores de aa y bb para que lim⁡x→0ax2+bx+1−e2xsen⁡(x2)=1\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^{2x}}{\sen(x^2)} = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x.1 pt
b
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x y la bisectriz del primer cuadrante. (Nota: para el dibujo de la gráfica de f(x)f(x), es suficiente utilizar el apartado anterior y calcular los puntos de corte con los ejes).1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+my+z=2mx−y+z=02x−y+2z=1\begin{cases} x + my + z = 2 \\ mx - y + z = 0 \\ 2x - y + 2z = 1 \end{cases}2 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta rr que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano π\pi determinado por los puntos A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(2,1,3)B(2, 1, 3) y C(3,0,0)C(3, 0, 0).1 pt
b
Calcula los posibles valores de aa para que el punto P(a,a,a)P(a, a, a) equidiste de la recta rr y del plano π\pi del apartado anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una circunferencia de centro OO y radio 1010 cm se traza un diámetro ABAB y una cuerda CDCD perpendicular a ese diámetro. ¿A qué distancia del centro OO de la circunferencia debe estar la cuerda CDCD, para que la diferencia entre las áreas de los triángulos ADCADC y BCDBCD sea máxima?
Circunferencia con diámetro AB y cuerda perpendicular CD
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Enuncia el teorema de Rolle. Determina el valor de aa para que sea aplicable el teorema de Rolle a la función f(x)=x3+ax−1f(x) = x^3 + ax - 1, en el intervalo [0,1][0, 1]. Para este valor de aa, calcula un punto c∈(0,1)c \in (0, 1) en el que la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) sea paralela al eje OXOX.1 pt
b
Calcula ∫x3+3x2−xdx\int \frac{x^3 + 3}{x^2 - x} dx.1 pt
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