Matemáticas CCSS · Galicia 2010

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & -y & 0 \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & z & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula los valores de $x, y, z$ para los que se verifica $2A - 4B + 3C = D^{-1}$.

Una empresa de transportes tiene que trasladar bloques de granito desde una cantera a un aserradero de piedra. Para ello dispone de un máximo de 8 camiones de tipo A y un máximo de 12 camiones de tipo B. Cada camión de tipo A necesita un operario y puede transportar 24 toneladas de granito con un gasto de 150 euros, mientras que cada camión de tipo B necesita dos operarios y puede transportar 12 toneladas de granito con un gasto de 300 euros. Se sabe que se necesitarán un mínimo de 15 operarios, que se transportarán un mínimo de 108 toneladas de granito y que el número de camiones de tipo A utilizados no será superior al número de camiones de tipo B.

Una empresa fabrica bicicletas y vende cada unidad de un determinado modelo a un precio $P(x)$ (en euros) que depende del número $x$ de bicicletas de ese modelo que haya fabricado. Tal función es $P(x) = 384 - \frac{2x^2}{75}$, $0 < x \leq 60$. En la fabricación de las $x$ bicicletas se produce un gasto fijo de 100 euros más un gasto variable de 256 euros por cada bicicleta fabricada.

El número $N$ de ejemplares vendidos (en miles) de una revista destinada al público adolescente es estimado por la función $N(t) = \begin{cases} 3t(10 - t) + 24, & 0 \leq t \leq 8 \\ \frac{624t}{t^2 + 144} + 24, & t > 8 \end{cases}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en semanas. Determina: los periodos en los que aumentan y en los que disminuyen las ventas de la revista, cuándo se alcanza el mayor número de ventas y a cuánto ascienden. ¿A qué valor tiende el número de ventas con el paso del tiempo?

Un estudio sociológico afirma que 3 de cada 10 personas de una determinada población son obesas, de las cuales el 60% sigue una dieta. Por otra parte, el 63% de la población no es obesa y no sigue una dieta.

Sean $A$ y $B$ sucesos tales que $P(A \cap B) = 0{,}1$; $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}6$; $P(A/B) = 0{,}5$, donde $\bar{A}$ y $\bar{B}$ denotan los sucesos contrarios de $A$ y $B$ respectivamente.

El peso (en gramos) de los pollos que llegan a un matadero sigue una distribución normal con una desviación típica de $\sigma = 320$ gramos.