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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2021

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2,5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para resolver el examen es de una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Discute el siguiente sistema en función del parámetro aa:{x+ay=12x−ay+2az=5x+3y−z=0\begin{cases} x + ay = 1 \\ 2x - ay + 2az = 5 \\ x + 3y - z = 0 \end{cases}Resuelve el sistema si a=1a = 1.
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Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis

1Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Nos preguntamos por las propiedades de una función de la formaf(x)=x(x+b)x2−1.f(x) = \frac{x(x + b)}{x^2 - 1}.
i
¿Para qué valores de bb su gráfica tiene una sola asíntota vertical?1 pt
ii
Estudia la existencia de extremos relativos de f(x)f(x) si b=−2b = -2.1,5 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Jorge y Laura juegan con dados. Los dados son equilibrados y, como es habitual, las caras están numeradas del 1 al 6. Jorge echa un dado, y a continuación Laura echa otro. Laura gana si la diferencia entre los dos resultados obtenidos es (en valor absoluto) mayor que 1.
a
¿Cuál es la probabilidad de ganar de Laura?1,25 pts
b
Si han jugado y ha ganado Laura, ¿cuál es la probabilidad de que Jorge haya sacado un 6?1,25 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Consideramos la ecuación matricialX2−X=2I,X^2 - X = 2I,donde II es la matriz identidad.
i
¿Qué matrices de la forma X=(ab0−1)X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & -1 \end{pmatrix} cumplen la ecuación?2 pts
ii
¿Se puede expresar en general la diferencia X2−XX^2 - X como un producto de matrices?0,25 pts
iii
Si XX es una matriz cuadrada de orden nn que cumple la ecuación, ¿cuál es su rango?0,25 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis

2Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Queremos definir una función por trozos, de forma que quede definida en el intervalo [−2,2][-2, 2] segúnf(x)={3−2xsi x∈[−2,a),x+4si x∈[a,b),5/xsi x∈[b,2].f(x) = \begin{cases} 3 - 2x & \text{si } x \in [-2, a), \\ x + 4 & \text{si } x \in [a, b), \\ 5/x & \text{si } x \in [b, 2]. \end{cases}Calcula los valores de aa y bb necesarios para que ff sea continua, y representa la función gráficamente.
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Una bodega de Rioja elabora vinos blancos, de crianza y reservas de gran calidad. Su producción consiste en un 35 %35\,\% de vino blanco, un 40 %40\,\% de vino de crianza y un 25 %25\,\% de reservas. Aunque tiene mucho cuidado en la selección de los corchos, la probabilidad de que alguna botella se estropee por razón de un corcho inadecuado es del 5 %5\,\% para el vino blanco, 4 %4\,\% para el crianza y 2 %2\,\% para el reserva.
i
Se elige una botella de la bodega al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el vino esté estropeado?1,75 pts
ii
Hemos elegido una botella de vino tinto al azar (crianza o reserva), ¿cuál es la probabilidad de que el vino NO esté estropeado?0,75 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
En el proceso de fabricación de cierta pintura se mezcla una cantidad xx de polvo sintético con una cantidad yy de polvo de un mineral. Se imponen las restriccionesx+2y≤6(para no rebasar un nivel de toxicidad en el proceso),x + 2y \leq 6 \quad \text{(para no rebasar un nivel de toxicidad en el proceso)},5x+4y≤20(para mantener la gama de color adecuada),5x + 4y \leq 20 \quad \text{(para mantener la gama de color adecuada)},y≤x(para que la viscosidad no sea excesiva).y \leq x \quad \text{(para que la viscosidad no sea excesiva)}.Además, se asume que x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0.
a
Dibuja en el plano la región factible de cantidades xx e yy que cumplen las restricciones.0,75 pts
b
¿Cuál es la máxima cantidad de polvo de mineral que podemos usar?0,75 pts
c
¿Cuál es la cantidad máxima posible de polvo (x+yx + y) que permiten las restricciones, y cuánto incluye de cada tipo?1 pt
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Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis

3Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Calcula el área de la región sombreada en la siguiente figura:
Gráfica de la parábola $y = 1 - x^2$ con una región sombreada en verde delimitada superiormente por la curva e inferiormente por una recta horizontal. Se indican los ejes $y=0$ y el punto $x=1/2$.
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Una máquina produce bolas de billar, y sabemos que su peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 20 gr20\,\text{gr}.
Datos
  • desviación típica σ=20 gr\sigma = 20\,\text{gr}
  • tamaño de la muestra n=100n = 100
a
Si el peso medio de las bolas fuese 165 gr165\,\text{gr}, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 100 bolas superase los 168 gr168\,\text{gr}?1,25 pts
b
El promedio en una muestra de 100 bolas es de 165 gr165\,\text{gr}. Determina un intervalo con el 95 %95\,\% de confianza para la media del peso de las bolas que produce la máquina.1,25 pts
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