Matemáticas CCSS · La Rioja 2021

Discute el siguiente sistema en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + ay = 1 \\ 2x - ay + 2az = 5 \\ x + 3y - z = 0 \end{cases}$$ Resuelve el sistema si $a = 1$.

Nos preguntamos por las propiedades de una función de la forma $$f(x) = \frac{x(x + b)}{x^2 - 1}.$$

Jorge y Laura juegan con dados. Los dados son equilibrados y, como es habitual, las caras están numeradas del 1 al 6. Jorge echa un dado, y a continuación Laura echa otro. Laura gana si la diferencia entre los dos resultados obtenidos es (en valor absoluto) mayor que 1.

Consideramos la ecuación matricial $$X^2 - X = 2I,$$ donde $I$ es la matriz identidad.

Queremos definir una función por trozos, de forma que quede definida en el intervalo $[-2, 2]$ según $$f(x) = \begin{cases} 3 - 2x & \text{si } x \in [-2, a), \\ x + 4 & \text{si } x \in [a, b), \\ 5/x & \text{si } x \in [b, 2]. \end{cases}$$ Calcula los valores de $a$ y $b$ necesarios para que $f$ sea continua, y representa la función gráficamente.

Una bodega de Rioja elabora vinos blancos, de crianza y reservas de gran calidad. Su producción consiste en un $35\,\%$ de vino blanco, un $40\,\%$ de vino de crianza y un $25\,\%$ de reservas. Aunque tiene mucho cuidado en la selección de los corchos, la probabilidad de que alguna botella se estropee por razón de un corcho inadecuado es del $5\,\%$ para el vino blanco, $4\,\%$ para el crianza y $2\,\%$ para el reserva.

En el proceso de fabricación de cierta pintura se mezcla una cantidad $x$ de polvo sintético con una cantidad $y$ de polvo de un mineral. Se imponen las restricciones $$x + 2y \leq 6 \quad \text{(para no rebasar un nivel de toxicidad en el proceso)},$$ $$5x + 4y \leq 20 \quad \text{(para mantener la gama de color adecuada)},$$ $$y \leq x \quad \text{(para que la viscosidad no sea excesiva)}.$$ Además, se asume que $x \geq 0$ e $y \geq 0$.

Calcula el área de la región sombreada en la siguiente figura:

Una máquina produce bolas de billar, y sabemos que su peso sigue una distribución normal con una desviación típica de $20\,\text{gr}$.