Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2013

Considera el siguiente problema de programación lineal: Maximiza la función $z = 2x + y$ sujeta a las siguientes restricciones: $$\begin{pmatrix} x - y \leq 1 \\ x + y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{pmatrix}$$

Dadas las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2980 euros. El número total de prendas vendidas ha sido 380. El número de camisetas vendidas fue el doble del número de gorras vendidas.

Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estáticas. Para su fabricación cada bicicleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla siguiente:

Se considera la función: $$f(x) = \begin{cases} |-x - 1| - t & \text{si } x \leq 2 \\ x - 5 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} |x - t| & \text{si } x \leq 2 \\ (x - 3)^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = x^2 + ax + b$ tenga un mínimo en el punto $(2, 1)$.

En un tramo de una montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función $f(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 38$, siendo $t$ el tiempo medido en segundos, $0 \leq t \leq 6$.

En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El $20\%$ son piezas del tipo A y el $80\%$ piezas del tipo B. La probabilidad de que una pieza de tipo A sea defectuosa es $0{,}02$ y de que una pieza de tipo B sea defectuosa es $0{,}1$.

En un colegio el $30\%$ de los alumnos juegan al baloncesto, el $40\%$ juegan al fútbol, y el $50\%$ juegan al fútbol o al baloncesto o a ambos deportes.

Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno gastaron: 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.

Una fábrica produce cables de acero, cuya resiliencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 10~\text{KJ/m}^3$. Se tomó una muestra aleatoria de 100 piezas y mediante un estudio estadístico se obtuvo un intervalo de confianza $(898{,}04, 901{,}96)$ para la resiliencia media de los cables de acero producidos en la fábrica.