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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2013

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Considera el siguiente problema de programación lineal: Maximiza la función z=2x+yz = 2x + y sujeta a las siguientes restricciones:(x−y≤1x+y≤2x≥0y≥0)\begin{pmatrix} x - y \leq 1 \\ x + y \leq 2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{pmatrix}
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica la solución óptima del problema dado y su valor.0,25 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2980 euros. El número total de prendas vendidas ha sido 380. El número de camisetas vendidas fue el doble del número de gorras vendidas.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas y gorras que se vendieron.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Se considera la función:f(x)={∣−x−1∣−tsi x≤2x−5si x>2f(x) = \begin{cases} |-x - 1| - t & \text{si } x \leq 2 \\ x - 5 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=2x = 2.0,5 pts
b
Para t=2t = 2, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
Calcula los valores de los parámetros aa y bb para que la función f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b tenga un mínimo en el punto (2,1)(2, 1).
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20%20\% son piezas del tipo A y el 80%80\% piezas del tipo B. La probabilidad de que una pieza de tipo A sea defectuosa es 0,020{,}02 y de que una pieza de tipo B sea defectuosa es 0,10{,}1.
a
Elegida una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?0,75 pts
b
Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A?0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno gastaron: 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.
a
Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=20\sigma = 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio poblacional con un nivel de confianza del 95%95\%.1,25 pts
b
Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de confianza.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
1,5 puntos
Dadas las matrices:A=(1−11131101) y B=(−1150)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula la matriz M=(3⋅I+A2)M = (3 \cdot I + A^2), donde II es la matriz identidad de orden 3.0,75 pts
b
Calcula la matriz XX tal que X⋅B=IX \cdot B = I, donde II es la matriz identidad de orden 2.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estáticas. Para su fabricación cada bicicleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla siguiente:
Datos
  • Se dispone de 9 piezas de acero
  • 28 piezas de aluminio
  • 34 piezas de fibra de carbono
Bicicleta de montañaBicicleta de paseoBicicleta estática
Piezas de acero231
Piezas de aluminio646
Piezas de fibra de carbono866
a
Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se podrán fabricar utilizando todas las piezas.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={∣x−t∣si x≤2(x−3)2−1si x>2f(x) = \begin{cases} |x - t| & \text{si } x \leq 2 \\ (x - 3)^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=2x = 2?0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (2,+∞)(2, +\infty).0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (2,+∞)(2, +\infty).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
1,5 puntos
En un tramo de una montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función f(t)=t3−9t2+15t+38f(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + 38, siendo tt el tiempo medido en segundos, 0≤t≤60 \leq t \leq 6.
a
¿En qué instante tt, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es dicha altura?1 pt
b
¿En qué instante tt, el vagón alcanza la altura mínima en el tramo mencionado, y cuánto vale dicha altura?0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1,5 puntos
En un colegio el 30%30\% de los alumnos juegan al baloncesto, el 40%40\% juegan al fútbol, y el 50%50\% juegan al fútbol o al baloncesto o a ambos deportes.
a
Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto?0,75 pts
b
Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Una fábrica produce cables de acero, cuya resiliencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=10 KJ/m3\sigma = 10~\text{KJ/m}^3. Se tomó una muestra aleatoria de 100 piezas y mediante un estudio estadístico se obtuvo un intervalo de confianza (898,04,901,96)(898{,}04, 901{,}96) para la resiliencia media de los cables de acero producidos en la fábrica.
a
Calcula el valor de la resiliencia media de las 100 piezas de la muestra.0,75 pts
b
Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo.1,25 pts
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