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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2018

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función F=−x+6yF = -x + 6y, sujeta a las siguientes restricciones:x+7y≤58;4x+5y≥48;3x−2y≤13x + 7y \leq 58 \quad ; \quad 4x + 5y \geq 48 \quad ; \quad 3x - 2y \leq 13
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica la solución óptima del problema dado y su valor.0,25 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Dadas las matrices:A=(−1−20303);B=(22−50−1−3);C=(4−41);D=(0−13)A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -5 & 0 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \quad ; \quad C = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad ; \quad D = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
a
De los siguientes productos, explica razonadamente cuáles pueden realizarse y cuáles no: A⋅BA \cdot B, A⋅CA \cdot C, A⋅DA \cdot D, C⋅DC \cdot D.0,5 pts
b
De los productos anteriores, realiza correctamente aquéllos que den como resultado una matriz cuadrada.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
En la bodega de Antonio hay botellas de vino blanco, de vino tinto y de vino rosado. Si sumamos las botellas de vino blanco con las de tinto obtenemos el triple de las botellas de rosado. La suma de las botellas de tinto con las de rosado supera en 40 unidades a las botellas de blanco. Además sabemos que Antonio tiene en su bodega 280 botellas.
a
Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botellas hay de cada tipo de vino.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Cierto concesionario de automóviles posee una nave industrial en la que guardan 100100 automóviles dispuestos para su venta inmediata. Los coches guardados en la nave son de tres tipos: gasolina, diésel e híbridos. Los más numerosos son los coches diésel, y la diferencia entre los diésel y los de gasolina es igual a la mitad del número de híbridos. Los menos numerosos son los híbridos, y la diferencia entre los de gasolina y los híbridos es igual a la tercera parte de los diésel.
a
Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos coches hay de cada tipo.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función:f(x)={∣x+2∣+tsi x≤0(x−t)2si x>0f(x) = \begin{cases} |x + 2| + t & \text{si } x \leq 0 \\ (x - t)^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=0x=0?0,5 pts
b
Calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (0,+∞)(0, +\infty) con t=3t = 3.0,5 pts
c
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (0,+∞)(0, +\infty) con t=3t = 3.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función:f(x)={x+tsi x<−14si −1≤x≤1(x−4)2−5si x>1f(x) = \begin{cases} x + t & \text{si } x < -1 \\ 4 & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ (x - 4)^2 - 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=−1x = -1.0,5 pts
b
Para t=3t = 3, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
Dada la función f(x)=ax5+bx3+cf(x) = ax^5 + bx^3 + c se pide que calcules los parámetros aa, bb y cc sabiendo que dos de los puntos de inflexión de esta función son: (0,0)(0,0) y (1,7)(1,7).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
Un paciente está siendo sometido a un tratamiento experimental y para ello estudiamos entre las 00 y las 99 horas de un día su concentración en sangre de cierta proteína, en mg/litro. Esa concentración se ajusta a la función:f(x)=13x3−4x2+7x+40f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 40donde f(x)f(x) está en mg/litro y xx en horas, con 0≤x≤90 \leq x \leq 9.
a
Determina cuáles son los valores inicial (x=0x = 0) y final (x=9x = 9) de la concentración de esa proteína en la sangre del paciente.0,5 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la concentración.0,5 pts
c
Determina en qué horas se alcanzan los valores máximo y mínimo respectivamente de la concentración de la proteína, y qué valores son esos.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
El 10%10\% de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. Para diagnosticar la misma, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable, ya que da positivo en el 97%97\% de los casos de personas con la enfermedad, pero también da positivo en el 1%1\% de personas que no padecen la enfermedad.
a
¿Cuál es la probabilidad de que una persona obtenga un diagnóstico positivo?0,75 pts
b
Si una persona obtiene negativo en el test, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
En una clase de 2727 alumnos, 1414 son de Albacete, 55 son de Cuenca y 88 de Toledo.
a
Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas).0,75 pts
b
Si sorteamos 55 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 55 sean para alumnos de Cuenca?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Para hacer un estudio del uso de las nuevas tecnologías (NT) por parte de los jóvenes de un centro escolar, se tomó una muestra aleatoria de 1010 menores, siendo el número de horas semanales que hacían uso de las nuevas tecnologías: 4,24{,}2, 4,64{,}6, 55, 5,75{,}7, 5,85{,}8, 5,95{,}9, 6,16{,}1, 6,26{,}2, 6,56{,}5 y 7,37{,}3 respectivamente. Sabiendo que la variable “número de horas diarias de uso de NT” sigue una distribución normal de desviación típica 2,12{,}1 horas, se pide:
a
Halla el intervalo de confianza para el número medio diario de horas que hacen uso de las nuevas tecnologías los alumnos de dicho centro con un nivel de confianza del 97%97\%.1 pt
b
Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza.0,5 pts
c
¿Crees que la media poblacional μ\mu del número medio de horas es 44 horas con una probabilidad del 90%90\%? Razona tu respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El tiempo de conexión a internet por semana de los alumnos de una universidad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=1\sigma = 1 hora. Se eligió una muestra aleatoria de 100100 alumnos y se observó que la media de tiempo en internet para esa muestra era de 55 horas.
a
Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de conexión a internet con un nivel de confianza del 95%95\%.0,75 pts
b
¿Se puede admitir que la media poblacional sea μ=4\mu = 4 horas con un nivel de confianza del 95%95\%? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas.0,5 pts
c
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100100 y un nivel de confianza del 94,64%94{,}64\%?0,75 pts
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