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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula los siguientes límites:lim⁡x→0ln⁡(1+2x)xesen⁡x,lim⁡x→0(1+tg⁡x)1x+sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{xe^{\sen x}}, \quad \lim_{x \to 0} (1 + \tg x)^{\frac{1}{x + \sen x}}
Datos
  • tg⁡x\tg x denota a la tangente de xx
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=x2f(x) = x^2 en el punto de abscisa x=2x = 2.0,5 pts
b
Esboza la región encerrada entre las gráficas de f(x)f(x), la recta calculada en el apartado a) y el eje de ordenadas.0,5 pts
c
Calcula el área de la región anterior.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncia el Teorema de Rouché-Fröbenius.0,5 pts
b
Razona que el sistema de ecuaciones lineales{x+3y−3z=42x−y+z=13x+2y−az=5a∈R\begin{cases} x + 3y - 3z = 4 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2y - az = 5 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}no es incompatible para ningún valor a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
c
Resuelve el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dada la rectar≡{2x−y+z=3x−z=1r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x - z = 1 \end{cases}
a
Da la ecuación implícita del plano π\pi perpendicular a rr que pasa por el punto P(2,1,1)P(2, 1, 1).1,25 pts
b
Halla el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los tres puntos que resultan al hacer la intersección de π\pi con los ejes coordenados.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determina cómo dividir un segmento de 90 cm90\,\text{cm} en dos trozos, de forma que la suma del área del semicírculo cuyo diámetro es uno de ellos y el área de un triángulo rectángulo que tiene como base el otro trozo y cuya altura es π\pi veces su base, sea mínima.
Datos
  • El área de un círculo de radio rr es πr2\pi r^2
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las integrales∫1x(4x3−x4) dx,∫xln⁡x dx\int \frac{1}{\sqrt{x}} (4x^3 - \sqrt[4]{x}) \, dx, \qquad \int x \ln x \, dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Despeja XX en la ecuación matricial A⋅X−A=2A2A \cdot X - A = 2A^2, donde AA y XX son matrices cuadradas de orden 3.1 pt
b
Calcula XX, siendoA=(10211000−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}1 pt
c
Calcula los determinantes de las matrices A101A^{101} y A1000A^{1000}.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el plano π≡x+ay+3z=2,a∈R,\pi \equiv x + ay + 3z = 2, a \in \mathbb{R}, y la rectar≡{x−2y+z=−12x−y=0r \equiv \begin{cases} x - 2y + z = -1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}
a
Halla aa para que π\pi y rr se corten perpendicularmente.1,25 pts
b
Halla aa para que π\pi y rr sean paralelos.1,25 pts
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