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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Sea ff la función continua definida por f(x)={x2+2si x≤0ax+bsi 0<x≤2−x22+32si 2<xf(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}
a)1,25 pts
Calcula aa y bb.
b)1,25 pts
Para a=−1a = -1 y b=4b = 4, estudia si existe la derivada de ff en x=2x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en dicho punto.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1) (donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a)1 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
b)1,5 pts
Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Considera la función F:[0,2π]→RF: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} definida por F(x)=∫0x2tcos⁡(t) dtF(x) = \int_{0}^{x} 2t \cos(t) \, dt.
a)1 pts
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de FF.
b)1,5 pts
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=πx = \pi.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque a
Calcula ∫01xarctg⁡(x) dx\int_{0}^{1} x \operatorname{arctg}(x) \, dx (donde arctg⁡\operatorname{arctg} denota la función arcotangente).
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera el sistema: {2x+3y+mz=3x+my−z=−13x+y−3z=−m\begin{cases} 2x + 3y + mz = 3 \\ x + my - z = -1 \\ 3x + y - 3z = -m \end{cases}
a)1,75 pts
Discute el sistema según los valores de mm.
b)0,75 pts
Para m=−2m = -2 encuentra, si es posible, y0y_0 para que la solución del sistema sea x=λ,y=y0,z=λ−37x = \lambda, y = y_0, z = \lambda - \frac{3}{7}.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Dado a≠0a \neq 0, considera las matrices A=(−a3a1)A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix} y B=(1−13412)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Determina para qué valores de aa se cumple que A−1=14AA^{-1} = \frac{1}{4} A.
b)1,25 pts
Para a=1a = 1 calcula, si es posible, la matriz XX tal que AX=BtAX = B^t, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Considera el plano π≡x+y+z=0\pi \equiv x + y + z = 0 y la recta r≡{x=λy=1−λz=0r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}
a)1,25 pts
Determina la ecuación del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.
b)1,25 pts
Calcula la distancia entre rr y π\pi.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque b
Sean los planos π1≡2x+y+z−3=0\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0, π2≡x+2y−z+5=0\pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0 y la recta r≡x−1=y2=z+15r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}.
a)2 pts
Halla los puntos de rr que equidistan de π1\pi_1 y π2\pi_2.
b)0,5 pts
Halla el seno del ángulo que forma el plano π1\pi_1 con la recta rr.
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