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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2022OrdinariaVariante Suplente

Matemáticas II · Andalucía 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea ff la función continua definida por f(x)={x2+2si x≤0ax+bsi 0<x≤2−x22+32si 2<xf(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}
a
Calcula aa y bb.1,25 pts
b
Para a=−1a = -1 y b=4b = 4, estudia si existe la derivada de ff en x=2x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en dicho punto.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1) (donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
b
Determina los intervalos de convexidad y de concavidad de ff y los puntos de inflexión de su gráfica.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función F:[0,2π]→RF: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} definida por F(x)=∫0x2tcos⁡(t) dtF(x) = \int_{0}^{x} 2t \cos(t) \, dt.
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de FF.1 pt
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=πx = \pi.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Calcula ∫01xarctg⁡(x) dx\int_{0}^{1} x \operatorname{arctg}(x) \, dx (donde arctg⁡\operatorname{arctg} denota la función arcotangente).
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el sistema:{2x+3y+mz=3x+my−z=−13x+y−3z=−m\begin{cases} 2x + 3y + mz = 3 \\ x + my - z = -1 \\ 3x + y - 3z = -m \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,75 pts
b
Para m=−2m = -2 encuentra, si es posible, y0y_0 para que la solución del sistema sea x=λ,y=y0,z=λ−37x = \lambda, y = y_0, z = \lambda - \frac{3}{7}.0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Dado a≠0a \neq 0, considera las matrices A=(−a3a1)A = \begin{pmatrix} -a & 3 \\ a & 1 \end{pmatrix} y B=(1−13412)B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
a
Determina para qué valores de aa se cumple que A−1=14AA^{-1} = \frac{1}{4} A.1,25 pts
b
Para a=1a = 1 calcula, si es posible, la matriz XX tal que AX=BtAX = B^t, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.1,25 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el plano π≡x+y+z=0\pi \equiv x + y + z = 0 y la recta r≡{x=λy=1−λz=0r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 0 \end{cases}
a
Determina la ecuación del plano perpendicular a π\pi que contiene a rr.1,25 pts
b
Calcula la distancia entre rr y π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Sean los planos π1≡2x+y+z−3=0\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0, π2≡x+2y−z+5=0\pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0 y la recta r≡x−1=y2=z+15r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}.
a
Halla los puntos de rr que equidistan de π1\pi_1 y π2\pi_2.2 pts
b
Halla el seno del ángulo que forma el plano π1\pi_1 con la recta rr.0,5 pts
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