Practica por temas

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & \alpha \\ 1 & \alpha & 1 \\ 0 & \alpha & - 1 \end{pmatrix}.$$

Calcula las siguientes integrales: $$\int \frac{2 \sen x \cos x}{1 + \sen^2 x} dx, \qquad \int \frac{x^2 + x - 4}{x^3 - 4x} dx$$

Halla la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = x \cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi, 2\pi)$.

Considera la función $f \colon [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \cos(\sqrt{x})$. Calcula, si es posible, una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$. Sugerencia: haz el cambio $t = \sqrt{x}$.

Dibuja la gráfica de $f(x) = \frac{2x^2}{x - 1}$ estudiando: dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.