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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2013

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncia el Teorema de Bolzano.0,5 pts
b
Razona que las gráficas de las funciones f(x)=3x5−10x4+10x3+3f(x) = 3x^5 - 10x^4 + 10x^3 + 3 y g(x)=exg(x) = e^x se cortan en algún punto con coordenada de abscisa entre -1 y 0.1 pt
c
Calcula los puntos de inflexión de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula el valor del parámetro a∈R,a>0a \in \mathbb{R}, a > 0, para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región determinada por la parábola f(x)=−x2+a2f(x) = -x^2 + a^2 y el eje de abscisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=−ax = -a.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Encuentra dos matrices A,BA, B cuadradas de orden 2 que cumplan: - Su suma es la matriz identidad de orden 2. - Al restar a la matriz AA la matriz BB se obtiene la traspuesta de la matriz(1234)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}1,5 pts
b
Si MM es una matriz cuadrada de orden 2 tal que ∣M∣=7|M| = 7, razona cuál es el valor de los determinantes ∣M2∣|M^2| y ∣2M∣|2M|.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudia la posición relativa del plano π≡x−y−z=a\pi \equiv x - y - z = a y la rectar≡{2x+y+az=0x−2y=0r \equiv \begin{cases} 2x + y + az = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases}en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1,25 pts
b
Calcula la distancia entre π\pi y rr para cada valor de a∈Ra \in \mathbb{R}.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcula los valores de los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)=ax2+bxx+1f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + 1}tenga como asíntota oblicua la recta y=2x+3y = 2x + 3.1,5 pts
b
Para los valores encontrados, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisas x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales:∫2sen⁡xcos⁡x1+sen⁡2xdx,∫x2+x−4x3−4xdx\int \frac{2 \sen x \cos x}{1 + \sen^2 x} dx, \qquad \int \frac{x^2 + x - 4}{x^3 - 4x} dx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Sabiendo que∣A∣=∣111abca2b2c2∣=2|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 2donde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, calcula los determinantes∣a−1b−1c−1a2−1b2−1c2−1555∣y∣(a+1)2(b+1)2(c+1)2abca2b2c2∣\begin{vmatrix} a - 1 & b - 1 & c - 1 \\ a^2 - 1 & b^2 - 1 & c^2 - 1 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} \qquad \text{y} \qquad \begin{vmatrix} (a + 1)^2 & (b + 1)^2 & (c + 1)^2 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.2 pts
b
Razona que, puesto que ∣A∣=2|A| = 2, los parámetros a,ba, b y cc deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudia la posición relativa de las rectasr≡{x+y−z=12x+y−2z=1ys≡{x−z=0x+2y−z=12r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + y - 2z = 1 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x - z = 0 \\ x + 2y - z = 12 \end{cases}1,25 pts
b
Calcula la distancia entre las rectas rr y ss.1,25 pts
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