Practica por temas

Considera los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ dados respectivamente por las ecuaciones $$(x, y, z) = (-2, 0, 7) + \lambda(1, -2, 0) + \mu(0, 1, -1) \quad \text{y} \quad 2x + y - z + 5 = 0$$ Determina los puntos de la recta $r$ definida por $x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3}$ que equidistan de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones $$x = y = z \quad \text{y} \quad \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 3 + \mu \\ z = -\mu \end{cases}$$

Considera los planos $\pi_1 \equiv x - y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y = 2$.

Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro $a$ y resuelve completamente en los casos en que sea posible: $$\begin{cases} x - 2y + z = -2 \\ -x + y + az = 1 \\ 2x + ay + 4z = -2 \end{cases}$$

Una heladería vende helados de una, dos y tres bolas a uno, dos y tres euros respectivamente. El viernes ha vendido 157 helados obteniendo 278 euros y sabemos que el número de helados de una bola vendidos es $k$ veces el número de helados de tres bolas.