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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérense las matrices:A=(12−k1−21k2−1)yB=(111022003)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -k \\ 1 & -2 & 1 \\ k & 2 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
a
Discútase para qué valores del parámetro real kk la matriz AA tiene matriz inversa.1 pt
b
Determínese para k=0k = 0 la matriz XX que verifica la ecuación A⋅X=BA \cdot X = B.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considérese la región del plano SS definida por:S={(x,y)∈R2:x+6y≥6;5x−2y≥−2;x+3y≤20;2x−y≤12}S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: \quad x + 6y \geq 6 \quad ; \quad 5x - 2y \geq -2 \quad ; \quad x + 3y \leq 20 \quad ; \quad 2x - y \leq 12 \}
a
Represéntese gráficamente la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determínense los puntos en los que la función f(x,y)=4x−3yf(x, y) = 4x - 3y alcanza sus valores máximo y mínimo en SS, indicando el valor de f(x,y)f(x, y) en dichos puntos.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Determínese el valor de la derivada de la función f(x)=ex1+xf(x) = \frac{e^x}{1 + x} en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
b
Estúdiense las asíntotas de la función f(x)=x31−x2f(x) = \frac{x^3}{1 - x^2}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una empresa de reparto de paquetería clasifica sus furgonetas en función de su antigüedad. El 25%25\% de sus furgonetas tiene menos de dos años de antigüedad, el 40%40\% tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y el resto tiene una antigüedad superior a cuatro años. La probabilidad de que una furgoneta se estropee es 0,010{,}01 si tiene una antigüedad inferior a dos años; 0,050{,}05 si tiene una antigüedad entre dos y cuatro años y 0,20{,}2 si tiene una antigüedad superior a cuatro años. Se escoge una furgoneta al azar de esta empresa. Calcúlese la probabilidad de que la furgoneta escogida:
a
Se estropee.1 pt
b
Tenga una antigüedad superior a cuatro años sabiendo que no se ha estropeado.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El peso en canal, en kilogramos (kg), de una raza de corderos a las seis semanas de su nacimiento se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 0,90{,}9 kg.
a
Se tomó una muestra aleatoria simple de 324324 corderos y el peso medio observado fue x‾=7,8\overline{x} = 7{,}8 kg. Obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 99,2%99{,}2\% para μ\mu.1 pt
b
Determínese el tamaño mínimo que debería tener una muestra aleatoria simple de la variable para que el correspondiente intervalo de confianza para μ\mu al 95%95\% tenga una amplitud a lo sumo de 0,20{,}2 kg.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{x−ay+2z=0ax−4y−4z=0(2−a)x+3y−2z=0\begin{cases} x - ay + 2z = 0 \\ ax - 4y - 4z = 0 \\ (2 - a)x + 3y - 2z = 0 \end{cases}
a
Discútase en función de los valores del parámetro aa.1 pt
b
Resuélvase para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Considérese la función real de variable real:f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
a
Calcúlense lim⁡x→−∞f(x)1−x3\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{1 - x^3} y lim⁡x→0f(x)x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.1 pt
b
Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)={2x+2si x≤0x+2si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x + 2} & \text{si } x \leq 0 \\ x + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Estúdiese la continuidad de f(x)f(x) en R\mathbb{R}.1 pt
b
Calcúlese ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El 30%30\% de los individuos de una determinada población son jóvenes. Si una persona es joven, la probabilidad de que lea prensa al menos una vez por semana es 0,200{,}20. Si una persona lee prensa al menos una vez por semana, la probabilidad de que no sea joven es 0,90{,}9. Se escoge una persona al azar. Calcúlese la probabilidad de que esa persona:
a
No lea prensa al menos una vez por semana.1 pt
b
No lea prensa al menos una vez por semana o no sea joven.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El peso en toneladas (T) de los contenedores de un barco de carga se puede aproximar por una variable aleatoria normal de media μ\mu y desviación típica σ=3\sigma = 3 T. Se toma una muestra aleatoria simple de 484484 contenedores.
a
Si la media de la muestra es x‾=25,9\overline{x} = 25{,}9 T, obténgase un intervalo de confianza con un nivel del 90%90\% para μ\mu.1 pt
b
Supóngase ahora que μ=23\mu = 23 T. Calcúlese la probabilidad de que puedan transportarse en un barco cuya capacidad máxima es de 1100011000 T.1 pt
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