Matemáticas CCSS · Extremadura 2020

Una tienda de productos agrícolas dispone de $600\,\text{kg}$ de abono de nitrógeno y de $150\,\text{kg}$ de abono de potasio para la fabricación de dos compuestos A y B. Cada envase del compuesto A contiene $3\,\text{kg}$ de abono de nitrógeno y $1\,\text{kg}$ de abono de potasio y cada envase del compuesto B contiene $6\,\text{kg}$ de abono de nitrógeno y $1\,\text{kg}$ de abono de potasio. Si el beneficio producido por cada envase del compuesto A es de $100$ euros y el del envase del compuesto B de $120$ euros, ¿cuántos envases de cada tipo debe fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál sería dicho beneficio máximo? Justificar las respuestas.

Una tienda de artesanía de calzado fabrica zapatos y botas. Cada par de zapatos requiere $1$ hora de trabajo y $0{,}5\,\text{m}^2$ de piel y cada par de botas $1$ hora de trabajo y $1\,\text{m}^2$ de piel, siendo el beneficio obtenido de $50$ euros por cada par de zapatos y de $80$ euros por cada par de botas. Si solo dispone de $50$ horas de trabajo y de $40\,\text{m}^2$ de piel, ¿cuántos pares de zapatos y de botas debe fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio máximo? Justificar las respuestas.

Sean A, B e I las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Hallar, justificando la respuesta, la matriz X que sea solución de la ecuación matricial: $$A \cdot B \cdot X = A \cdot B + I$$

Sean X, I y O las matrices siguientes: $$X = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Hallar, justificando la respuesta, los valores del parámetro a para los que se verifica: $$X^2 - 4X + 3I = O$$

Durante el estudio de medida del ruido R, expresado en decibelios, en un punto de una determinada ciudad se ha comprobado que varía con el tiempo, t, expresado en horas de acuerdo con la función: $$R(t) = t^3 - 12t^2 + 36t + 60 \quad (1 \leq t \leq 7)$$ Determinar, justificando las respuestas, en qué momentos se producen los valores máximo y mínimo de ruido. Calcular dichos valores máximo y mínimo.

En una determinada masa de pan en el horno, el crecimiento $F(x)$ (en cm) viene determinado por la cantidad de levadura $x$ de acuerdo a la función: $$F(x) = \begin{cases} Bx + 2A & \text{si } 1 \leq x < 3 \\ x^2 + Ax - B & \text{si } 3 \leq x \leq 5 \end{cases}$$ Se sabe que con $2$ gramos de levadura la masa experimenta un crecimiento de $2\,\text{cm}$ y que la función es continua. Determinar las constantes A y B. Justificar la respuesta.

Se pide, justificando las respuestas:

En Portugal, el $40\%$ del café consumido es de marca Delta, el $50\%$ de marca Sical y el $10\%$ restante se lo reparten otras marcas. Delta utiliza la variedad arábica para el $70\%$ de sus envases y la variedad robusta para el $30\%$ restante. Sical utiliza la variedad arábica en el $60\%$ de sus envases y la robusta en el $40\%$. Las otras marcas de café utilizan ambas variedades en el $50\%$ de sus envases. Se pide, justificando las respuestas:

Una marca de galletas ha comprobado que el diámetro de las galletas que produce sigue una distribución normal con una desviación típica igual a $2\,\text{mm}$. Se ha tomado una muestra de $100$ galletas obteniéndose un diámetro medio de $45\,\text{mm}$. Calcular el intervalo de confianza al $95\%$ para el diámetro medio de las galletas producidas por dicha marca.

Se realiza un estudio sobre el precio del pan en distintas tiendas, variable que se supone con distribución normal de desviación típica $20$ céntimos. Si deseamos obtener un intervalo de confianza al $95\%$ para la media de dicha variable, ¿cuántas tiendas tenemos que visitar (tamaño muestral) para que el intervalo tenga una longitud de $4$ céntimos? Justificar la respuesta.