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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. (El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos)
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
La condición de equilibrio para el precio, en unidades monetarias, de tres productos P1,P2P_1, P_2 y P3P_3, relacionados entre sí, da lugar al siguiente sistema de ecuaciones lineales: x+y+z=6x + y + z = 6; x+y−z=0x + y - z = 0; 2x−y+z=32x - y + z = 3, siendo x,yx, y y zz los precios de los productos P1,P2P_1, P_2 y P3P_3, respectivamente.
a
Expresa el sistema en forma matricial AX=BAX = B. Calcula la matriz inversa de AA, siendo AA la matriz cuadrada de orden 3 de los coeficientes.2 pts
b
Calcula los precios de equilibrio para esos tres productos x,y,zx, y, z.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Los beneficios (en cientos de miles de euros anuales) estimados por una pequeña empresa durante un período de cuatro años, se ajustaron a la función B(x)=x3−6x2+9x,0≤x≤4B(x) = x^3 - 6x^2 + 9x, 0 \leq x \leq 4, donde B(x)B(x) representa los beneficios de la empresa a los xx años transcurridos desde su constitución (x=0x = 0 corresponde al año 2006).
a
¿En algún año la empresa no tuvo beneficios? Justifica la respuesta.0,5 pts
b
Determina los intervalos de tiempo en los que los beneficios aumentaron y en los que disminuyeron. ¿Qué información nos proporcionan sobre la evolución de los beneficios en esos cuatro años? Calcula los beneficios máximo y mínimo y los años en que se produjeron.1,75 pts
c
Utilizando los resultados anteriores y calculando, si lo hay, el punto de inflexión, representa la gráfica de B(x)B(x).0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se está planificando llevar a cabo una encuesta con pequeñas empresas de una población. Se escogerá una muestra aleatoria simple de empresas a partir del listado telefónico. Por experiencia, se sabe que solo la mitad de las empresas con las que se contacta responden. Si se contacta con 150 empresas,
a
¿Cuál es el número esperado de empresas que responden?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que como máximo respondan 70 empresas?1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Supongamos que el IMC (índice de masa corporal) en niñas de 13 años de una población sigue una distribución normal, N(μ,σ=4)N(\mu, \sigma = 4).
a
Si el 6,68%6{,}68\% de las citadas niñas está en riesgo de sobrepeso, es decir, su IMC es superior a 22,522{,}5, calcula el valor del IMC medio, μ\mu, para las niñas de 13 años de la población.0,75 pts
b
Si el IMC para las niñas de 13 años de la población sigue una distribución N(16,5,4)N(16{,}5, 4) y se extrae una muestra aleatoria de 64 niñas de 13 años de esa población, calcula la probabilidad de que el IMC medio de la muestra esté por debajo de 15,315{,}3 (por debajo del peso adecuado).1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Consideremos el siguiente sistema de inecuaciones: y−x−2≤0y - x - 2 \leq 0; y+x−6≤0y + x - 6 \leq 0; 2y≥5−x2y \geq 5 - x.
a
Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.1,5 pts
b
Calcula en qué punto o puntos de esa región alcanza los valores máximo y mínimo la función f(x,y)=x+2yf(x, y) = x + 2y.0,75 pts
c
Responde al apartado anterior si se añade y≥0y \geq 0 al sistema de inecuaciones anterior.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se estima que el número de unidades vendidas de cierto producto NN, a los tt meses de introducirlo en el mercado, viene dado por: N(t)=200(5−102+t),t≥0N(t) = 200 \left( 5 - \frac{10}{2 + t} \right), t \geq 0.
a
El número de unidades vendidas ¿aumenta o disminuye al transcurrir los meses? Justifica la respuesta, estudiando el crecimiento o decrecimiento de la función N(t)N(t).1,25 pts
b
Determina entre qué meses las ventas son superiores a 500 e inferiores a 800 unidades.1,25 pts
c
¿Las ventas tienden a estabilizarse alrededor de alguna cantidad? Justifica la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos tales que la probabilidad de que ambos acontezcan simultáneamente es 1/101/10 y la probabilidad de que no acontezca ninguno de los dos es 1/51/5. Además se sabe que P(A/B)=1/4P(A / B) = 1/4.
a
Calcula la probabilidad de que acontezca alguno de los dos sucesos.1 pt
b
Calcula la probabilidad de que acontezca el suceso AA.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En un reciente estudio se afirma que hay un 5%5\% de lesiones de rodilla entre futbolistas que juegan sobre césped y calzan un nuevo modelo de botas de fútbol. De 250 futbolistas que juegan sobre césped y que calzan botas de fútbol convencionales se dieron 20 de tales lesiones.
a
Formula un test para contrastar la hipótesis de que la proporción de lesiones de rodilla jugando con botas convencionales no supera a la de tales lesiones jugando con el nuevo modelo, frente a la hipótesis de que sí la supera.0,75 pts
b
¿A qué conclusión se llega con un 5%5\% de nivel de significación? ¿Se llega a la misma conclusión con un 1%1\% de nivel de significación?1,25 pts
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