Matemáticas CCSS · Cataluña 2010

Considere la función siguiente: $$f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$$

En una tienda de comestibles hemos comprado botellas de agua a $0{,}5$ € cada una, de leche a $1$ € y de zumo de fruta a $1{,}5$ €. Al llegar a la caja nos damos cuenta de que llevamos 40 botellas, cuyo coste total es de 38 €. También observamos que si las botellas de agua que llevamos fuesen de leche y las de leche fuesen de agua, la compra nos saldría $4$ € más barata. Determine el número de botellas de cada bebida que hemos comprado.

Dado el sistema de ecuaciones siguiente: $$\begin{cases} x + 5y + 2z = 2 \\ 2x + 4y + z = 4 \\ x - y - z = 2 \end{cases}$$

Considere la función siguiente: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + b & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Dada la función siguiente: $$f(x) = \frac{-4x^2}{x + 1}$$

Queremos construir el marco de una ventana rectangular de $100$ dm$^2$ de superficie. El coste de cada decímetro de marco horizontal es de $6$ €, mientras que el de cada decímetro de marco vertical es de $24$ €. Calcule las dimensiones de la ventana para que el marco nos salga tan barato como sea posible.

Una tienda ha vendido 225 lápices de memoria de tres modelos diferentes, que llamaremos A, B y C, y ha ingresado un total de $10500$ €. El lápiz A cuesta $50$ €, y los modelos B e C son, respectivamente, un $10\%$ y un $40\%$ más baratos que el modelo A. La suma total de lápices vendidos de los modelos B y C es la mitad que la de lápices vendidos del modelo A. Calcule cuántos ejemplares se han vendido de cada modelo.

Considere la función $f(x) = x \cdot e^{-x}$.

Un concesionario de motos comercializa dos modelos, uno de 125 cc y otro de 50 cc. Por cada moto de 125 cc que vende, gana $1000$ € y por cada moto de 50 cc, gana $600$ €. Por otro lado, para satisfacer los objetivos marcados por el fabricante, es necesario que el concesionario cumpla las condiciones siguientes: a) Vender entre 50 y 150 motos de 125 cc. b) Vender al menos tantas motos de 50 cc como de 125 cc. c) No vender más de 500 motos de 50 cc. Determine cuántas motos de cada tipo debe vender el concesionario para obtener el máximo beneficio, y calcule este beneficio máximo.

En una empresa artesana que puede producir hasta 25 sillas semanales, la función de costes en relación con el número $q$ de sillas producidas es $$C(q) = \frac{q^3}{100} + 4q + 20$$ Si $q$ es el número de sillas producidas, el coste medio de cada silla se expresa mediante la función $$Q(q) = \frac{C(q)}{q}$$

Una tienda de bisutería vende anillos y collares en lotes de dos tipos: el lote de tipo A está formado por un anillo y un collar, mientras que el lote de tipo B consta de 3 anillos y un collar. Sabemos que disponen de 1500 anillos y de 1000 collares. En cada lote de tipo A ganan $0{,}70$ €, mientras que en cada lote de tipo B ganan 1 €. Indique cuántos lotes de cada tipo deben vender para obtener el máximo beneficio.

Considere la función siguiente: $$f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$$

Considere el triángulo ABC que se muestra en la figura siguiente:

Considere las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Dada la función $f(x) = x^2 \cdot e^x$:

Considere la recta $r$, de ecuación $x + 2y = 4$.

En una explotación ganadera se declara una epidemia, y los veterinarios prevén que la propagación de esta seguirá la función $f(x) = -2x^2 + 48x + 162$, en la que $x$ representa el número de semanas que han transcurrido desde el momento de la declaración de la epidemia, y $f(x)$ indica el número de animales afectados.

Dadas las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$