Matemáticas II · Castilla y León 2013

Calcular, cuando sea posible, las matrices $C \cdot B^t$, $B^t \cdot C$, $B \cdot C$.

Hallar $a$ para que el sistema $x \cdot A + y \cdot B = 4 \cdot C$ de tres ecuaciones y dos incógnitas $x$ e $y$, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de $a$.

¿Para qué valores de $a$ la matriz $A$ es inversible?

Estudiar el rango según los valores de $a$.

Hallar $a$ para que se cumpla $A^{-1} = \frac{1}{4} \cdot A$.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto $A$, es paralela al plano que pasa por los puntos $P, Q$ y $R$, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda.

Hallar la distancia del punto $A$ al plano que pasa por $P, Q$ y $R$.

Hallar la ecuación del plano que pasa por $P$, por un punto $R$ de la recta $r$ y es perpendicular a la recta que pasa por $Q$ y por $R$.

Hallar el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi \equiv x - y - 3 = 0$.

Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento.

Dibujar el recinto comprendido entre la recta $y = 1$, la gráfica de la función $f(x)$, el eje $OY$ y la recta $x = 2$; calcular el área de dicho recinto.

Estudiar el crecimiento de la función $f(x) = x^3 + 3x^2 - 3$.

Probar que la ecuación $x^3 + 3x^2 - 3 = 0$ tiene exactamente tres soluciones reales.