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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(21a)A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}, B=(3−1−4)B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} y C=(121)C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
a
Calcular, cuando sea posible, las matrices C⋅BtC \cdot B^t, Bt⋅CB^t \cdot C, B⋅CB \cdot C.0,75 pts
b
Hallar aa para que el sistema x⋅A+y⋅B=4⋅Cx \cdot A + y \cdot B = 4 \cdot C de tres ecuaciones y dos incógnitas xx e yy, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de aa.1,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean los puntos A(1,2,−1)A(1, 2, -1), P(0,0,5)P(0, 0, 5), Q(1,0,4)Q(1, 0, 4) y R(0,1,6)R(0, 1, 6).
a
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto AA, es paralela al plano que pasa por los puntos P,QP, Q y RR, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda.1,75 pts
b
Hallar la distancia del punto AA al plano que pasa por P,QP, Q y RR.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f(x)={ax+bxsi 0≤x≤1cln⁡xsi 1<xf(x) = \begin{cases} a \sqrt{x} + bx & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ c \ln x & \text{si } 1 < x \end{cases}. Hallar aa, bb y cc sabiendo que f(x)f(x) es continua en (0,∞)(0, \infty), la recta tangente a f(x)f(x) en el punto de abscisa x=116x = \frac{1}{16} es paralela a la recta y=−4x+3y = -4x + 3, y se cumple que ∫1ef(x)dx=2\int_{1}^{e} f(x) dx = 2.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Estudiar el crecimiento de la función f(x)=x3+3x2−3f(x) = x^3 + 3x^2 - 3.1 pt
b
Probar que la ecuación x3+3x2−3=0x^3 + 3x^2 - 3 = 0 tiene exactamente tres soluciones reales.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz A=(a−200−2001a)A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}.
a
¿Para qué valores de aa la matriz AA es inversible?0,5 pts
b
Estudiar el rango según los valores de aa.0,5 pts
c
Hallar aa para que se cumpla A−1=14⋅AA^{-1} = \frac{1}{4} \cdot A.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean los puntos P(1,−4,1)P(1, -4, 1), Q(0,−3,2)Q(0, -3, 2) y la recta r≡{x=1y−z=4r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y - z = 4 \end{cases}.
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por PP, por un punto RR de la recta rr y es perpendicular a la recta que pasa por QQ y por RR.1,5 pts
b
Hallar el ángulo que forman la recta rr y el plano π≡x−y−3=0\pi \equiv x - y - 3 = 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x−2x+2f(x) = \frac{x - 2}{x + 2}.
a
Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento.1 pt
b
Dibujar el recinto comprendido entre la recta y=1y = 1, la gráfica de la función f(x)f(x), el eje OYOY y la recta x=2x = 2; calcular el área de dicho recinto.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 66 metros, el que tiene área máxima.
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