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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Variante 3

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y=4xy = 4x, y=8−4xy = 8 - 4x y la curva y=2x−x2y = 2x - x^2.
a
Realiza un esbozo de dicho recinto.0,5 pts
b
Calcula su área.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{x+ky+2z=k+1x+2y+kz=3(k+1)x+y+z=k+2\begin{cases} x + ky + 2z = k + 1 \\ x + 2y + kz = 3 \\ (k + 1)x + y + z = k + 2 \end{cases}
a
Determina los valores de kk para los que el sistema tiene más de una solución.1,25 pts
b
¿Existe algún valor de kk para el cual el sistema no tiene solución?0,5 pts
c
Resuelve el sistema para k=0k = 0.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se consideran los vectores u⃗=(k,1,1)\vec{u} = (k, 1, 1), v⃗=(2,1,−2)\vec{v} = (2, 1, -2) y w⃗=(1,1,k)\vec{w} = (1, 1, k), donde kk es un número real.
a
Determina los valores de kk para los que u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v} y w⃗\vec{w} son linealmente dependientes.0,75 pts
b
Determina los valores de kk para los que u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} y v⃗−w⃗\vec{v} - \vec{w} son ortogonales.1 pt
c
Para k=−1k = -1, determina aquellos vectores que son ortogonales a v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} y tienen módulo 1.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ln⁡(x2+3x+3)−xf(x) = \ln(x^2 + 3x + 3) - x donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
b
Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−2x = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula los valores de aa y bb sabiendo que la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=ax2+bln⁡(x)f(x) = ax^2 + b \ln(x), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en x=1x = 1 y que∫14f(x)dx=27−8ln⁡(4)\int_{1}^{4} f(x) dx = 27 - 8 \ln(4)
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea A=(3−251)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, sea BB la matriz que verifica que AB=(−2173)AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}.
a
Comprueba que las matrices AA y BB poseen inversas.1 pt
b
Resuelve la ecuación matricial A−1X−B=BAA^{-1}X - B = BA.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Encuentra los puntos de la recta r≡x−14=2−y2=z−3r \equiv \frac{x - 1}{4} = \frac{2 - y}{2} = z - 3 cuya distancia al plano π≡x−2y+2z=1\pi \equiv x - 2y + 2z = 1 vale cuatro unidades.
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