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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMurciaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · Murcia 2020

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTE: Debes responder a un máximo de 5 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2 puntos. Si se responde a más de 5 preguntas, sólo se corregirán las cinco primeras que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro aa:{x+ay+z=12y+az=2x+y+z=1\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2y + az = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}Resolverlo para a=3a = 3.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
La repoblación forestal de un bosque quemado en un gran incendio se va a llevar a cabo por dos empresas diferentes de jardinería. Hay que repoblar con pinos, eucaliptos y chopos. La primera empresa es capaz de plantar, en una semana, 30 pinos, 20 eucaliptos y 20 chopos. La segunda empresa planta 20 pinos, 30 eucaliptos y 20 chopos. El coste semanal se estima en 33.00033.000 € para la primera empresa de jardinería y de 35.00035.000 € para la segunda. Se necesita plantar un mínimo de 60 pinos, 120 eucaliptos y 100 chopos. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste?
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Ejercicio 3

3
2 puntos
El beneficio semanal obtenido en una empresa de ordenadores viene dado para la función B(x)=−2x2+24x−36B(x) = -2x^2 + 24x - 36, donde xx representa el número de ordenadores vendidos semanalmente. Calcular el número de ordenadores vendidos cada semana para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es este beneficio máximo?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la función f(x)=x3+ax2+bx+1f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1:
a
Determinar los valores de aa y bb de forma que la función tenga un extremo relativo en x=1x = 1 y la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0 tenga de pendiente m=−1m = -1.1 pt
b
Si en la función anterior a=−2a = -2 y b=−4b = -4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como sus extremos relativos.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Representar gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 y g(x)=−2x2+5x+6g(x) = -2x^2 + 5x + 6. Calcular su área.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la función f(x)=1x+1f(x) = \frac{1}{x + 1}:
a
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto x=1x = 1.1 pt
b
Calcular el área de la región del plano limitado por la gráfica de la función f(x)f(x), el eje OXOX y las rectas de ecuación x=0x = 0 y x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
En una ferretería se encuentran mezclados 100 tornillos de color azul, 60 de color blanco y 40 de color rojo. La probabilidad de que un tornillo sea defectuoso es de 0,010{,}01 si es azul, 0,020{,}02 si es blanco y de 0,030{,}03 si es rojo. Un comprador elige un tornillo al azar:
a
Calcule la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso.1 pt
b
Sabiendo que el tornillo es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanco?1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Dado dos sucesos independientes AA y BB se conoce que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3 y que P(B)=0,4P(B) = 0{,}4. Calcular las siguientes probabilidades:
a
P(A∪B)P(A \cup B).0,75 pts
b
P(A∩B)P(A \cap B).0,5 pts
c
P(A/B)P(A / B).0,75 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Se ha estimado que el consumo medio de gasolina de los automóviles de un concesionario se distribuye según una distribución normal con una desviación típica de 0,50{,}5 litros. Se han probado 10 automóviles, elegidos aleatoriamente, de este concesionario por conductores con la misma forma de conducir y en carreteras similares, obteniendo un consumo medio de 6,56{,}5 litros por cada 100100 km.
a
Determine un intervalo de confianza, al 95%95\% de confianza, para la media del gasto de gasolina de estos vehículos.1,25 pts
b
Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que, con un nivel de confianza del 95%95\%, el error cometido del consumo de gasolina sea inferior a 0,20{,}2.0,75 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
En un laboratorio farmacéutico se analiza el PH de una solución y se supone que este sigue una distribución normal con una desviación típica de 0,020{,}02. Con un ensayo de 6 mediciones de la misma solución se obtuvo un PH medio de 7,917{,}91.
a
Determine un intervalo de confianza al 95%95\% para la media de todas las determinaciones de PH de la misma solución obtenida por el mismo método.1,25 pts
b
Con el mismo nivel de confianza anterior, ¿cuál será el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido sea inferior a 0,010{,}01?0,75 pts
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