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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se calificará sobre 2,5 puntos. TIEMPO: 90 minutos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes: A, B y C. Los camiones de tipo A tienen una capacidad de 14 toneladas, los de tipo B, de 24 toneladas y los de tipo C, de 28 toneladas. Habría que traer un camión más de tipo A para igualar al número de camiones restantes. El 10%10\% de la capacidad de todos los camiones tipo B supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra 302 toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dado el sistema {(a+1)x+4y=0(a−1)y+z=34x+2ay+z=3\begin{cases} (a + 1)x + 4y = 0 \\ (a - 1)y + z = 3 \\ 4x + 2ay + z = 3 \end{cases}, se pide:
a
Discutirlo en función del parámetro aa.1,25 pts
b
Resolverlo para a=3a = 3.0,5 pts
c
Resolverlo para a=5a = 5.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)=(x2−1)23f(x) = \sqrt[3]{(x^2 - 1)^2}, se pide:
a
Estudiar si es par o impar.0,25 pts
b
Estudiar su derivabilidad en el punto x=1x = 1.0,75 pts
c
Estudiar sus extremos relativos y absolutos.1,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dada la función real de variable real definida sobre su dominio como f(x)={x22+x2si x≤−12x23−3xsi x>−1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2 + x^2} & \text{si } x \leq -1 \\ \frac{2x^2}{3 - 3x} & \text{si } x > -1 \end{cases}, se pide:
a
Estudiar la continuidad de la función en R\mathbb{R}.0,75 pts
b
Calcular el siguiente límite: lim⁡x→−∞f(x)2x2−1\lim_{x \to -\infty} f(x)^{2x^2 - 1}.1 pt
c
Calcular la siguiente integral: ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean los puntos A(1,−2,3)A(1, -2, 3), B(0,2,−1)B(0, 2, -1) y C(2,1,0)C(2, 1, 0). Se pide:
a
Comprobar que forman un triángulo TT y hallar una ecuación del plano que los contiene.1,25 pts
b
Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos AA y BB con el plano z=1z = 1.0,75 pts
c
Determinar el perímetro del triángulo TT.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dada la recta r≡x−12=y1=z+1−2r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2}, el plano π:x−z=2\pi : x - z = 2 y el punto A(1,1,1)A(1, 1, 1), se pide:
a
Estudiar la posición relativa de rr y π\pi y calcular su intersección, si existe.0,75 pts
b
Calcular la proyección ortogonal del punto AA sobre el plano π\pi.0,75 pts
c
Calcular el punto simétrico del punto AA con respecto a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se tiene un suceso AA de probabilidad P(A)=0,3P(A) = 0{,}3.
a
Un suceso BB de probabilidad P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 es independiente de AA. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).0,75 pts
b
Otro suceso CC cumple P(C∣A)=0,5P(C \mid A) = 0{,}5. Determine P(A∩C‾)P(A \cap \overline{C}).0,75 pts
c
Si se tiene un suceso DD tal que P(A‾∣D)=0,2P(\overline{A} \mid D) = 0{,}2 y P(D∣A)=0,5P(D \mid A) = 0{,}5, calcule P(D)P(D).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
La longitud de la sardina del Pacífico (Sardinops sagax) se puede considerar que es una variable aleatoria con distribución normal de media 175 mm175\,\text{mm} y desviación típica 25,75 mm25{,}75\,\text{mm}.
Datos
  • Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)N(0, 1)
  • P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) con el área bajo la curva sombreada hasta un valor z.
a
Una empresa envasadora de esta variedad de sardinas solo admite como sardinas de calidad aquellas con una longitud superior a 16 cm16\,\text{cm}. ¿Qué porcentaje de las sardinas capturadas por un buque pesquero serán de la calidad que espera la empresa envasadora?1 pt
b
Hallar una longitud t<175 mmt < 175\,\text{mm} tal que entre tt y 175 mm175\,\text{mm} estén el 18%18\% de las sardinas capturadas.0,5 pts
c
En altamar se procesan las sardinas en lotes de 1010. Posteriormente se devuelven al mar las sardinas de cada lote que son menores de 15 cm15\,\text{cm} por considerarlas pequeñas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote haya al menos una sardina devuelta por pequeña?1 pt
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